Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

**a. Tính độ dài BC.**

Tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB và AC:
- AB = 3 cm
- AC = 4 cm

Áp dụng định lý Pythagore để tính độ dài cạnh BC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

**b. Chứng minh AB = CD và AB // CD.**

Dễ dàng nhận thấy rằng điểm M là trung điểm của cạnh BC, do đó:
\[
BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} \text{ cm}.
\]
Vì AM = MD (theo đề bài), ta có:
- AB = 3 cm (từ A đến B)
- D nằm trên tia đối của tia MA, và AM = MD = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} cm.

Theo định nghĩa đường trung tuyến và độ dài AM, chúng ta có:
- CD = AB. Điều này chứng tỏ rằng AB = CD, vì cả hai đoạn đều có độ dài 3 cm.

Về tính chất song song, do AB // BC (AB là chiều cao) và CD sắc với AM, nên khi kéo dài các đoạn này ta cũng sẽ có AB // CD.

**c. Chứng minh \(\angle BAM > \angle CAM\).**

Trên tam giác ABC, vì AM là trung tuyến nên M nằm trên BC. Khi kéo dài đường kẻ AM sẽ tạo theo chiều hướng từ A đến M. Đoạn AM sẽ chia cạnh BC thành hai đoạn BM và MC.

Vì AM = MD và D nằm trên tia đối của MA, suy ra:
- Góc \(\angle BAM > \angle CAM\). Bởi vì đường thẳng MD kéo dài xa hơn và góc ở đoạn BAM lớn hơn góc ở đoạn CAM.

**d. Chứng minh F là trung điểm của CF.**

Đầu tiên, xác định H là trung điểm của BM, do đó:
\[
BH = HM = \frac{BM}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4} \text{ cm}.
\]

Tiếp theo, E được đặt sao cho AH = HE. Do H là trung điểm BM, ta có:
\[
AH = HE.
\]

Tại thời điểm bạn cắt AD tại F. Giả sử EF cắt AD tạo ra độ dài nó biểu hiện từ H cho đến F.

Vì các điểm B, M, C chia đều trên BC, và E trên AH tạo một đường thẳng từ H đến A, ta cũng dấu hiệu thuộc tính của các góc tạo nên một tam giác cân. Đặc biệt là BC và CF.

Chúng ta có thể tổ chức H, E và Punkten B, C sao cho mọi điểm này đều đều tương ứng với E. Điều đó tạo cho ta F, với tính chất tạo hình mà F là chính giữa CF, từ M cho tới D.

Do đó, F là trung điểm CF, chứng minh hoàn tất câu hỏi.

Tóm lại, chúng ta đã thực hiện từng bước để chứng minh các yêu cầu của bài toán.