Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao của AD và BC; I, J là trung điểm AB, CD. Tính vector(OI) theo vector(OA), vector(OB)

Để giải bài toán này, ta cần áp dụng kiến thức về vectơ và một số tính chất hình học của hình thang.

### Phần a: Tính vector \(OI\) theo vector \(OA\) và \(OB\)

1. **Đặt các vectơ**:
- Gọi vector \( \vec{OA} = \vec{a} \) và vector \( \vec{OB} = \vec{b} \).

2. **Tìm vector \( \vec{I} \)**:
- Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\), nên:
\[
\vec{I} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}
\]

3. **Tìm vector \( \vec{O} \)**:
- Vector \( \vec{O} \) là gốc của hệ tọa độ, nên \( \vec{O} = \vec{0} \).

4. **Tính vector \( \vec{OI} \)**:
- Ta có:
\[
\vec{OI} = \vec{I} - \vec{O} = \vec{I} - \vec{0} = \vec{I} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}
\]

Kết quả là:
\[
\vec{OI} = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB})
\]

### Phần b: Tính vector \(OJ\) theo \(K\), vector \(OA\), vector \(OB\)

1. **Tìm vector \( \vec{J} \)**:
- Điểm \(J\) là trung điểm của \(CD\). Gọi \( \vec{O} + \vec{c} = \vec{C} \) và \( \vec{O} + \vec{d} = \vec{D} \).
- Do \(AB \parallel CD\) nên:
\[
\vec{c} = \vec{a} + \vec{d} - \vec{b}
\]
- Khi đó:
\[
\vec{J} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \frac{(\vec{O} + \vec{c}) + (\vec{O} + \vec{d})}{2} = \frac{2\vec{O} + \vec{c} + \vec{d}}{2}
\]

Đặt \(K = \frac{\vec{OD}}{\vec{OA}} = \frac{\vec{d}}{\vec{a}}\) thì \( \vec{d} = K \cdot \vec{a} \) và \( \vec{c} = (K-1) \vec{a} + \vec{b}\).
- Khi đó:
\[
\vec{C} = \vec{O} + (K-1)\vec{a} + \vec{b}, \quad \vec{D} = \vec{O} + K\vec{a}
\]

2. **Tính vector \(OJ\)**:
\[
\vec{OJ} = \vec{J} - \vec{O} = \frac{K\vec{a} + (K-1)\vec{a} + \vec{b}}{2}
\]
Sắp xếp thuật toán:
\[
\vec{OJ} = \frac{(K + (K-1))\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{(2K-1)\vec{a} + \vec{b}}{2}
\]

Và kết quả là:
\[
\vec{OJ} = \frac{(2K-1)\vec{OA} + \vec{OB}}{2}
\]

Đến đây ta đã hoàn thành bài toán yêu cầu tính toán các vectơ theo điều kiện cho trước.