Cho điểm A nằm trong góc vuông xoy, điểm B di chuyển trên tia Ox, điểm C di chuyển trên Oy. Tìm vị trí của B; C sao cho tổng AB+AC+BC đạt giá trị nhỏ nhất

Để tìm vị trí của điểm B và C sao cho tổng \( AB + AC + BC \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta có thể áp dụng phương pháp phản xạ.

**Giả sử:**
- Điểm \( A \) có tọa độ \( (x_A, y_A) \).
- Điểm \( B \) có tọa độ \( (x_B, 0) \) trên tia \( Ox \).
- Điểm \( C \) có tọa độ \( (0, y_C) \) trên tia \( Oy \).

**Cách giải:**

1. **Phản xạ điểm A qua trục Ox:**
- Gọi điểm phản xạ của A qua trục Ox là \( A' \) với tọa độ \( (x_A, -y_A) \).

2. **Xác định khoảng cách:**
- Tổng quãng đường \( AB + AC + BC \) có thể được viết lại như sau:
\[
AB + AC + BC = |(x_B - x_A) + y_A| + |(y_C - y_A)| + |x_B| + |y_C|
\]

3. **Tìm điểm B và C:**
- Để tìm vị trí tối ưu cho B và C, ta cần tìm giao điểm đường thẳng nối A' với trục Ox và trục Oy. Đường thẳng này có dạng:
- Tìm giao điểm của đường thẳng từ \( A' \) đến trục Ox (điều kiện \( y = 0 \)) và đến trục Oy (điều kiện \( x = 0 \)).
- Điều này cho phép chúng ta tìm được những giá trị của \( B \) và \( C \) sao cho tổng quãng đường chính là đường đi ngắn nhất.

4. **Kết quả:**
- Tọa độ của điểm \( B \) và \( C \) sẽ là giao điểm của đường thẳng từ \( A' \) đến hai trục tọa độ.

**Cụ thể hơn:**
- Giả sử \( A \) có tọa độ \( (x_A, y_A) \). Từ đó, ta tìm được điểm B trên trục Ox có tọa độ \( (x_B, 0) \) và điểm C có tọa độ \( (0, y_C) \) để tối ưu hóa tổng quãng đường.

Checking the conditions, you'll find:
- \( B \) nên nằm ở vị trí \( (x_A, 0) \) và \( C \) nên nằm ở vị trí \( (0, y_A) \).

Vì vậy, vị trí tối ưu cho \( B \) và \( C \) là:
- Điểm \( B \) tại \( (x_A, 0) \)
- Điểm \( C \) tại \( (0, y_A) \)

Từ đó, giá trị cực tiểu của tổng \( AB + AC + BC \) sẽ đạt được.