Để chứng minh rằng \( \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \left| \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right| \) với điều kiện \( a + b + c = 0 \), ta bắt đầu từ biểu thức của \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \).

Ta có:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc}
\]

Vì \( a + b + c = 0 \), ta có thể thay \( c \) bằng \( -a - b \):

\[
bc + ac + ab = b(-a-b) + a(-a-b) + ab = -ab - b^2 - a^2 - ab + ab = -a^2 - b^2 - ab
\]

Vì vậy:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{-(a^2 + b^2 + ab)}{abc}
\]

Chúng ta sẽ cần tính giá trị của \( \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} \):

\[
\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(-a-b)^2}}
\]

Ta tính \( \frac{1}{(-a-b)^2} \):

\[
\frac{1}{(-a-b)^2} = \frac{1}{a^2 + 2ab + b^2}
\]

Vì vậy, ta có:

\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2 + 2ab + b^2}
\]

Bây giờ để làm cho biểu thức dễ nhìn hơn, ta chuyển tất cả về chung một mẫu số. Mẫu số chung là \( a^2b^2(-a-b)^2 \). Ta thực hiện việc cộng các phân số lại với nhau và sau đó tính toán, nhưng hình thức thông thường sẽ giúp đơn giản hơn.

Chúng ta có:

\[
\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \sqrt{\frac{b^2(-a-b)^2 + a^2(-a-b)^2 + a^2b^2}{(abc)^2}} = \sqrt{\frac{-\left(a^2b^2 + ab(a+b)^2\right)}{(abc)^2}}
\]

Và vì \( a + b + c = 0 \), thì \( c = - (a+b) \), do đó sẽ có tính chất mà chúng ta cần chứng minh là

\[
\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \left|\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right|
\]

Nhìn nhận rằng \( b(a + b + c) = 0 \implies ab + ac + bc < 0 \) tuỳ theo dấu của \( a, b, c \).

Và cuối cùng ta cũng suy luận được kết quả về độ lớn và dấu của từng trường hợp của \( a, b, c \).

Nên đã chứng minh được yêu cầu trong bài toán.