Để tìm giá trị của \( m \) sao cho giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \) khác rỗng, chúng ta cần xem xét các khoảng của hai tập hợp này.

Tập hợp \( A \) được xác định bởi:

\[
A = [-3, -1] \cup [2, 4]
\]

Tập hợp \( B \) có dạng:

\[
B = (m - 1, m + 2)
\]

Để \( A \cap B \neq \emptyset \), tức là tồn tại ít nhất một phần tử trong cả hai tập hợp. Chúng ta sẽ xét từng khoảng của \( A \) và tìm điều kiện cho \( m \).

1. **Đoạn đầu tiên của A: [-3, -1]**
- Để \( A \cap B \) không rỗng, cần thích hợp với khoảng \( (m-1, m+2) \).

- Phần giao nhau có thể có nếu:

\[
m - 1 < -1 \quad \text{và} \quad -3 < m + 2
\]

- Giải các bất phương trình này:

\[
m < 0 \quad \text{(1)}
\]

\[
m > -5 \quad \text{(2)}
\]

- Từ (1) và (2), ta có:

\[
-5 < m < 0
\]

2. **Đoạn thứ hai của A: [2, 4]**
- Tương tự, giao của \( B \) với đoạn này:

- Phần giao nhau có thể có nếu:

\[
m - 1 < 4 \quad \text{và} \quad 2 < m + 2
\]

- Giải các bất phương trình này:

\[
m < 5 \quad \text{(3)}
\]

\[
m > 0 \quad \text{(4)}
\]

- Từ (3) và (4), ta có:

\[
0 < m < 5
\]

3. **Kết hợp các điều kiện:**

- Từ hai phần trên, chúng ta có những điều kiện sau:
- Từ khoảng 1: \(-5 < m < 0\)
- Từ khoảng 2: \(0 < m < 5\)

Khi kết hợp hai điều kiện, ta thấy rằng:

\[
-5 < m < 0 \quad \text{hoặc} \quad 0 < m < 5
\]

Kết luận là \( m \) có thể thuộc hai khoảng sau:

\[
(-5, 0) \cup (0, 5)
\]

Đó là tất cả các giá trị \( m \) sao cho \( A \cap B \neq \emptyset \).