Gọi số cháu trong nhà trẻ là \( N \) và số nhóm là \( g \).

Từ bài toán, chúng ta có hai trường hợp:

1. **Chia thành mỗi nhóm 6 cháu**: Nếu chia mỗi nhóm có 6 cháu thì có 4 cháu chưa có ai phụ trách, tức là:
\[
N = 6g + 4
\]

2. **Chia thành mỗi nhóm 8 cháu**: Nếu chia mỗi nhóm có 8 cháu thì thừa 1 cô, tức là:
\[
N = 8(g - 1) = 8g - 8
\]

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình:

1. \( N = 6g + 4 \)
2. \( N = 8g - 8 \)

Bằng cách thay thế \( N \) từ phương trình đầu tiên vào phương trình thứ hai:
\[
6g + 4 = 8g - 8
\]

Giải phương trình:
\[
4 + 8 = 8g - 6g
\]
\[
12 = 2g
\]
\[
g = 6
\]

Thay giá trị của \( g \) vào một trong hai phương trình để tìm \( N \):
\[
N = 6 \times 6 + 4 = 36 + 4 = 40
\]

Vậy nhà trẻ có **40 cháu** và số cô giáo là \( g = 6 \).

**Kết luận**: Nhà trẻ đó có **40 cháu** và **6 cô giáo**.