Để chứng minh rằng góc \( IPB \) vuông, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Gọi các góc:** Ở tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta có \( \angle A = 90^\circ \). Do đó, \( \angle BAI + \angle ABI = 90^\circ \) (vì \( I \) là điểm trong của tam giác).

2. **Vị trí điểm tiếp xúc:** Như đề bài đã nêu, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh \( CA \) tại \( M \) và cạnh \( CB \) tại \( N \). Ta biết rằng đường tiếp xúc của một đường tròn tại một điểm có góc vuông với bán kính tại điểm tiếp xúc.

3. **Góc tại điểm tiếp xúc:** Vì \( IM \) vuông góc với \( CA \) và \( IN \) vuông góc với \( CB \), ta có:
\[
\angle MIA = 90^\circ \quad và \quad \angle NIB = 90^\circ
\]

4. **Điểm P:** Khi đường thẳng \( MN \) cắt \( AI \) tại \( P \), ta cần xem xét hình chiếu của các điểm. Ta có \( IP \) là đoạn thẳng nối từ điểm trong \( I \) đến điểm \( P \) trên đường thẳng \( AI \).

5. **Góc IPB:** Ta xét tam giác \( IPB \) với \( \angle MIB \):
\[
\angle MIA + \angle AIB + \angle NIB = 90^\circ + \angle A + 90^\circ = 180^\circ
\]
Điều này cho thấy ba góc này tạo thành một nửa vòng tròn.

6. **Kết luận:** Do đó, \( P \) là điểm thuộc đường thẳng \( AI \), trong khi các góc tại \( M \) và \( N \) đều vuông góc với các cạnh. Ta có \(\angle IPB = \angle MIA + \angle NIB = 90^\circ\).

Vì vậy, \( IPB \) vuông.