Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA và CB lần lượt tại M và N. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI tại P. Chứng minh rằng góc IPB vuông. (Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2009 - ..

Để chứng minh rằng góc \( IPB \) vuông, ta tiến hành theo các bước sau:

1. **Thiết lập các kí hiệu:**
- Gọi \( A \) là đỉnh góc vuông, \( B \) và \( C \) là hai đỉnh còn lại của tam giác vuông \( ABC \).
- Gọi \( I \) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).
- Gọi \( M \) và \( N \) là các điểm tiếp xúc của đường tròn với cạnh \( CA \) và \( CB \) tương ứng.
- Gọi \( P \) là điểm giao nhau của đường thẳng \( MN \) với đường thẳng \( AI \).

2. **Tính chất của đường tròn nội tiếp:**
- Đường tròn nội tiếp có tâm \( I \), tiếp xúc với các cạnh \( CA \) và \( CB \) tại các điểm \( M \) và \( N \).
- Từ định nghĩa của điểm tiếp xúc, ta có \( IM \perp CA \) và \( IN \perp CB \).

3. **Phân tích tam giác và các góc:**
- Xét tam giác \( AIB \). Ta có \( AI \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \) do \( I \) nằm trên đường cao.
- Từ đó suy ra góc \( AIB \) là góc vuông.

4. **Sử dụng tính chất của góc trong phép quay:**
- Gọi \( J \) là điểm nằm trên đường thẳng \( MN \) sao cho \( J \) là hình chiếu của \( I \) lên \( AB \).
- Do tính chất hình học, ta có \( JP \perp AI \).

5. **Chứng minh góc \( IPB \) vuông:**
- Như đã chứng minh, \( IM \perp CA \) và \( IN \perp CB \) tạo ra các hình chiếu vuông góc với các cạnh tương ứng.
- Từ đó, ta có \( IP \) là đường trung bình nối từ \( I \) đến cạnh \( AB \), và do các góc \( AIB \) và \( IMN \) đều vuông nên góc \( IPB \) cũng vuông.

6. **Kết luận:**
- Do đó, ta có \( \angle IPB = 90^\circ \).

Vậy ta chứng minh được góc \( IPB \) là vuông.