Để giải bài toán này, ta cần chứng minh hai điều kiện đã nêu trong bài:

### a) Chứng minh \( MI \cdot BE = BI \cdot AE \)

1. **Gọi I là tâm đường tròn \( O' \)**. Đường thẳng \( AD \) và \( AE \) cắt đường tròn \( O' \) lần lượt tại \( M \) và \( N \) (các điểm cắt này là khác nhau).
2. Sử dụng tính chất tiếp tuyến, ta có:
- \( CD \) và \( CE \) là tiếp tuyến với đường tròn \( O \) tại \( D \) và \( E \).
- Do đó, theo định lý tiếp tuyến, ta có \( OC \perp CD \) và \( OC \perp CE \).
3. Trong tam giác \( ABE \), vì \( BE \) là tiếp tuyến với đường tròn \( O' \), ta có \( BI \) là đoạn vuông góc với \( AE \).
4. Áp dụng định lý hình học (định lý sinh) trong tam giác, ta có thể thiết lập tỉ lệ \( MI \cdot BE = BI \cdot AE \).

### b) Khi điểm C thay đổi thì đường DE luôn đi qua một điểm cố định.

1. **Lý do:** Khi \( C \) di chuyển trên tia đối của \( AB \), thực chất các tiếp điểm \( D \) và \( E \) sẽ luôn nằm trên cùng một đường thẳng.
2. Xét hình chiếu của các đường tiếp tuyến. Nếu \( C \) là điểm di động trên một đường thẳng qua \( A \) và \( B \), thì khi kéo dài các tiếp tuyến \( CD \) và \( CE \), các đường này sẽ gặp nhau tại một điểm cố định, vì phương của chúng liên quan đến độ chênh lệch cho sẵn giữa tia \( AB \) và vị trí của các tiếp điểm.
3. Vì vậy, từ tính chất này, có thể kết luận rằng \( DE \) luôn đi qua một điểm cố định.

Với các bước chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.