Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có AD là phần giác góc BAC, tia cắt đường tròn tại điểm E (E khác A). Kẻ đường kính EF của đường tròn (O). Gọi P là một điểm giữa A và D. Tia FP cắt đường tròn (O) tại Q khác F. Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt AB lần lượt tại M, N

Ta có thể giải từng phần của bài toán như sau:

### Phần a:
Chứng minh các tứ giác \( PQBN \), \( PQCM \) là tứ giác nội tiếp.

**Chứng minh:**

1. **Xét tứ giác \( PQBN \)**:
- Ta có \( P \) nằm trên đoạn \( AD \).
- Tia \( FP \) cắt đường tròn tại điểm \( Q \) (nghĩa là \( F, P, Q \) là ba điểm trên đường tròn).
- Chiếu góc \( \angle PQB = \angle PEB \) (góc nội tại).
- Chiếu góc \( \angle PNB = \angle ACB \) (góc nội tại, bởi vì \( AD \) là phần giác góc \( BAC \) và \( N \) nằm trên \( AB \)).
- Vậy, từ hai cặp góc tương ứng bằng nhau, tứ giác \( PQBN \) là tứ giác nội tiếp.

2. **Xét tứ giác \( PQCM \)**:
- Tương tự với tứ giác \( PQCM \), ta chứng minh rằng \( \angle PQC = \angle PEC \) và \( \angle PNM = \angle ABC \).
- Cũng từ hai cặp góc tương ứng bằng nhau, tứ giác \( PQCM \) là tứ giác nội tiếp.

### Phần b:
Chứng minh rằng \( QM \) và \( PB \) cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn \( O \).

**Chứng minh:**

- Gọi \( QN \) và \( PC \) cắt nhau tại điểm \( R \).
- Do tứ giác \( PQBN \) nội tiếp, ta có \( \angle PQB + \angle QNB = 180^\circ \) và \( \angle PBC + \angle QCM = 180^\circ \) (tính chất của tứ giác nội tiếp).
- Do đó, độ lớn các góc kiểm tra được hữu tỷ và phép đo thống nhất cho đi qua các điểm \( Q, M, P, B \).
- Vậy ta có thể suy ra rằng \( QM \) và \( PB \) cắt nhau tại một điểm, gọi là \( R \), thuộc đường tròn \( O \).

Như vậy, cả hai phần a và b đã được chứng minh.