Cho đường tròn (O; 3 cm). Điểm A ∈ (O). Đường thẳng d vuông góc với OA tại trung điểm của OA cắt đường tròn (O) tại B và C

Để giải bài toán này, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh rằng tam giác \(OAB\) là tam giác đều.

1. **Tính độ dài \(OA\)**:
- \( O \) là tâm của đường tròn, có bán kính \( R = 3 \) cm, tức là \( OA = 3 \) cm.

2. **Xét tam giác \(OAB\)**:
- Do đường thẳng \(d\) vuông góc với \(OA\) tại trung điểm của \(OA\), ta có:
- Trung điểm của đoạn \(OA\) được gọi là \(M\) và có \( OM = \frac{1}{2}OA = \frac{3}{2} \) cm.
- Do \(d\) vuông góc với \(OA\), nên \(OB\) và \(OC\) là hai đoạn thẳng kéo dài từ \(O\) đến các điểm \(B\) và \(C\) cắt đường tròn, và \(M\) là trung điểm của \(B\) và \(C\).

3. **Tính độ dài \(OB\)**:
- Từ định nghĩa bán kính, ta có \(OB = R = 3\) cm.
- Vậy \(OA = OB\).

4. **Chứng minh \(AB = OA\)**:
- Xét tam giác vuông \(OAM\) (vì \(d \perp OA\)):
- Theo định lý Pytago trong tam giác vuông, ta có:
\[
AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{3^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}
\]
- Vì tam giác \(OAB\) là tam giác vuông tại \(M\), nên \(AB\) cũng bằng \(OA\).

### b) Tính độ dài đoạn \(BC\).

1. **Tính toán độ dài \(BC\)**:
- Do điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\) và ta đã có tính độ dài \(AB\) và \(BC\).
- Ta có thể sử dụng tính chất của tam giác đều đã chứng minh ở phần a), tới đây cũng chứng minh \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- Theo tính chất được xác định từ góc vuông và định nghĩa bán kính, ta có thể thấy rằng độ dài \(BC\) bằng \(2AM\).

2. **Kết luận**:
- Từ các tính toán, ta hỏi \(BC = 2 \cdot AM = 3\sqrt{3}\).

Tổng kết lại:
1. Tam giác \(OAB\) là tam giác đều.
2. Độ dài đoạn \(BC = 3\sqrt{3}\) cm.