Để tìm số tự nhiên \( x \) thỏa mãn bất phương trình \( 514 + 21 < 53x < 737 - 200 \), chúng ta sẽ giải từng phần của bất phương trình.

1. Tính giá trị của bên trái và bên phải:
- \( 514 + 21 = 535 \)
- \( 737 - 200 = 537 \)

Vậy bất phương trình trở thành:
\[ 535 < 53x < 537 \]

2. Giải bất phương trình \( 535 < 53x \):
- Chia cả hai vế cho 53:
\[
\frac{535}{53} < x
\]

Tính giá trị:
\[
\frac{535}{53} \approx 10.113
\]

Như vậy, \( x > 10.113 \) hoặc \( x \geq 11 \) (số tự nhiên bắt đầu từ 11).

3. Giải bất phương trình \( 53x < 537 \):
- Chia cả hai vế cho 53:
\[
x < \frac{537}{53}
\]

Tính giá trị:
\[
\frac{537}{53} \approx 10.113
\]

Như vậy, \( x < 10.113 \) hoặc \( x \leq 10 \).

4. Kết hợp hai kết quả:
\[
11 \leq x < 10
\]
Thấy rằng không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Do đó, không tồn tại số tự nhiên \( x \) nào thỏa mãn bất phương trình đã cho.