Để giải bài toán này, ta đặt số sách lúc đầu ở mỗi ngăn như sau:

- Ngăn thứ nhất: \(x\) cuốn
- Ngăn thứ hai: \(y\) cuốn
- Ngăn thứ ba: \(z\) cuốn

Theo đề bài, ta có các hệ thức sau:

1. Tổng số sách của 3 ngăn:
\[
x + y + z = 1120
\]

2. Sau khi lấy đi một số sách từ mỗi ngăn, số sách còn lại của ba ngăn bằng nhau. Số sách còn lại của từng ngăn sẽ là:
- Số sách còn lại ở ngăn thứ nhất: \(x - \frac{3}{7}x = \frac{4}{7}x\)
- Số sách còn lại ở ngăn thứ hai: \(y - \frac{1}{5}y = \frac{4}{5}y\)
- Số sách còn lại ở ngăn thứ ba: \(z - \frac{2}{5}z = \frac{3}{5}z\)

Vì số sách còn lại của ba ngăn bằng nhau nên ta có phương trình:
\[
\frac{4}{7}x = \frac{4}{5}y = \frac{3}{5}z
\]

Gọi \(k\) là giá trị chung của số sách còn lại:
\[
\frac{4}{7}x = k \implies x = \frac{7}{4}k
\]
\[
\frac{4}{5}y = k \implies y = \frac{5}{4}k
\]
\[
\frac{3}{5}z = k \implies z = \frac{5}{3}k
\]

Thay các giá trị này vào phương trình tổng số sách:
\[
\frac{7}{4}k + \frac{5}{4}k + \frac{5}{3}k = 1120
\]

Tính tổng:
\[
\left(\frac{7}{4} + \frac{5}{4} + \frac{5}{3}\right) k = 1120
\]

Tính tổng các véc-tơ:
\[
\frac{7 + 5}{4} + \frac{5}{3} = \frac{12}{4} + \frac{5}{3} = 3 + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} + \frac{5}{3} = \frac{14}{3}
\]

Vậy phương trình trở thành:
\[
\frac{14}{3}k = 1120
\]

Giải phương trình này để tìm \(k\):
\[
k = 1120 \cdot \frac{3}{14} = 240
\]

Bây giờ thay giá trị \(k\) vào các biểu thức để tìm \(x\), \(y\), và \(z\):
\[
x = \frac{7}{4} \cdot 240 = 420
\]
\[
y = \frac{5}{4} \cdot 240 = 300
\]
\[
z = \frac{5}{3} \cdot 240 = 400
\]

Vậy số sách lúc đầu ở mỗi ngăn là:
- Ngăn thứ nhất: \(420\) cuốn
- Ngăn thứ hai: \(300\) cuốn
- Ngăn thứ ba: \(400\) cuốn

Kiểm tra lại tổng số:
\[
420 + 300 + 400 = 1120
\]

Do đó, số sách lúc đầu ở mỗi ngăn là:
- Ngăn thứ nhất: 420 cuốn
- Ngăn thứ hai: 300 cuốn
- Ngăn thứ ba: 400 cuốn.