Đối với bài toán này, bạn có thể làm theo các bước sau để giải quyết từng yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng \( OA \perp MN \)

1. **Đường tiếp tuyến và bán kính**: Đối với một đường tròn, bán kính vẽ đến điểm tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó. Do đó, \( OM \perp AM \) và \( ON \perp AN \).
2. **Hình thành tam giác**: Xét tam giác \( OMA \) và \( ONA \).
3. **Sử dụng tính đối xứng**: Hai tam giác này là đối xứng qua đường thẳng \( OA \). Do đó, \( OA \) là đường phân giác của góc \( MAN \).
4. **Kết luận**: Do đó, \( OA \perp MN \).

### b) Vẽ đường kính \( NOC \). Chứng minh rằng \( MC \parallel AO \).

1. **Xác định điểm C**: C là điểm đối xứng của điểm O qua đường thẳng MN.
2. **Chứng minh đường thẳng**: Ta có hai góc ứng với đoạn thẳng MC và AO. Cho thấy rằng \( \angle OMC = \angle OAN \).
3. **Sử dụng tính chất song song**: Từ các góc đó, suy ra \( MC \parallel AO \) (theo tiêu chuẩn góc đồng vị).

### c) Tính độ dài các cạnh của tam giác \( AMN \) biết \( OM = 3 \, cm, OA = 5 \, cm \).

1. **Áp dụng định lý Pytago**:
- Trong tam giác vuông \( OMA \):
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2 \implies 5^2 = 3^2 + AM^2 \implies AM^2 = 25 - 9 = 16 \implies AM = 4 \, cm.
\]

2. **Tương tự với \( AN \)**:
- Trong tam giác vuông \( ONA \):
\[
OA^2 = ON^2 + AN^2.
\]
- Sử dụng \( ON = OM = 3 \, cm \),
\[
5^2 = 3^2 + AN^2 \implies AN^2 = 16 \implies AN = 4 \, cm.
\]

3. **Tính độ dài cạnh \( MN \)**:
- \( MN = AM + AN = 4 + 4 = 8 \, cm. \)

### Kết luận:
- Bạn đã hoàn thành ba yêu cầu của bài toán.