Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu:

### a) Tứ giác ADIE là hình gì? Vì sao?
Tứ giác ADIE là hình vuông. Bởi vì:
- Trong tam giác vuông ABC, đường tròn nội tiếp (đường tròn có tâm I) sẽ tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại các điểm D và E.
- Gọi AI là bán kính đường tròn nội tiếp và với các tính chất của tam giác vuông, ta có AD = AE (vì đường tròn nội tiếp tiếp xúc với hai cạnh vuông góc tại D và E).
- Do đó, ta có AD = AE = r (bán kính của đường tròn), và ∠A = 90° → Tứ giác ADIE có 2 cạnh bằng nhau và có một góc vuông, nên tứ giác ADIE là hình vuông.

### b) Tính bán kính của (I) biết AB = 3 cm, AC = 4 cm.
Sử dụng công thức tính bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp trong tam giác:

\[
r = \frac{S}{p}
\]

Trong đó:
- \( S \) là diện tích tam giác.
- \( p \) là nửa chu vi của tam giác.

1. **Tính diện tích \( S \)** của tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

2. **Tính nửa chu vi \( p \)** của tam giác:
\[
p = \frac{AB + AC + BC}{2}
\]
Để tính BC, sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Do đó:
\[
p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}
\]

3. **Tính bán kính \( r \)**:
\[
r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1 \text{ cm}
\]

**Kết quả**:
- a) Tứ giác ADIE là hình vuông.
- b) Bán kính của (I) là 1 cm.