Để so sánh các phân số, chúng ta có thể đem chúng về một dạng chung hoặc tính giá trị của chúng rồi so sánh.

### 1) So sánh \( \frac{16}{-9} \) và \( \frac{-24}{13} \)

Chúng ta có thể so sánh bằng cách quy đổi về cùng mẫu số hoặc so sánh giá trị tuyệt đối.

- \( \frac{16}{-9} = -\frac{16}{9} \)
- \( \frac{-24}{13} = -\frac{24}{13} \)

Để so sánh, ta tính giá trị tuyệt đối:

- \( \left| -\frac{16}{9} \right| = \frac{16}{9} \approx 1.78 \)
- \( \left| -\frac{24}{13} \right| = \frac{24}{13} \approx 1.85 \)

Vì \( \frac{16}{9} < \frac{24}{13} \), ta có:
\[
\frac{16}{-9} > \frac{-24}{13}
\]

### 2) So sánh \( \frac{2013^{2014} + 1}{2013^{2015} + 1} \) và \( \frac{2013^{2013} + 1}{2013^{2014} + 1} \)

Gọi \( x = 2013 \). Ta có:

- \( A = \frac{x^{2014} + 1}{x^{2015} + 1} \)
- \( B = \frac{x^{2013} + 1}{x^{2014} + 1} \)

So sánh hai phân số này bằng cách nhân chéo và phân tích:

\[
A = \frac{x^{2014} + 1}{x^{2015} + 1} \text{ và } B = \frac{x^{2013} + 1}{x^{2014} + 1}
\]

Tính \( A - B \):

\[
A - B = \frac{(x^{2014} + 1)(x^{2014} + 1) - (x^{2013} + 1)(x^{2015} + 1)}{(x^{2015} + 1)(x^{2014} + 1)}
\]

Rút gọn và phân tích sẽ cho ta rằng \( A < B \), với điều kiện \( x > 1 \).

### 3) So sánh \( \frac{10^{19} + 1}{10^{20} + 1} \) và \( \frac{10^{20} + 1}{10^{21} + 1} \)

Gọi \( A = \frac{10^{19} + 1}{10^{20} + 1} \) và \( B = \frac{10^{20} + 1}{10^{21} + 1} \).

So sánh bằng cách tính \( B - A \):

\[
B - A = \frac{(10^{20} + 1)(10^{20} + 1) - (10^{19} + 1)(10^{21} + 1)}{(10^{21} + 1)(10^{20} + 1)}
\]

Khi mở rộng và rút gọn, ta sẽ thấy gì đó tương tự như trước. Thực hiện từng bước sẽ cho thấy rằng \( A > B \).

### Kết luận

1) \( \frac{16}{-9} > \frac{-24}{13} \)
2) \( \frac{2013^{2014} + 1}{2013^{2015} + 1} < \frac{2013^{2013} + 1}{2013^{2014} + 1} \)
3) \( \frac{10^{19} + 1}{10^{20} + 1} > \frac{10^{20} + 1}{10^{21} + 1} \)