Để chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu (xanh, đỏ, vàng), ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi số lượng viên bi theo từng trường hợp.

Gọi:
- \( x \): số viên bi xanh
- \( y \): số viên bi đỏ
- \( z \): số viên bi vàng

Ta cần thỏa mãn điều kiện:
\[
x + y + z = 5
\]
và \( x \geq 1 \), \( y \geq 1 \), \( z \geq 1 \) (để đảm bảo có đủ cả ba màu).

Hệ thống điều kiện trên có thể được biến đổi bằng cách đặt:
\[
x' = x - 1, \quad y' = y - 1, \quad z' = z - 1
\]
Khi đó, ta có:
\[
x' + y' + z' = 2
\]
với \( x' \geq 0 \), \( y' \geq 0 \), \( z' \geq 0 \).

Số cách phân phối 2 viên bi cho 3 màu (các biến \( x', y', z' \)) là số nghiệm không âm của phương trình trên, có thể tính bằng công thức:
\[
\binom{n + k - 1}{k - 1}
\]
Trong đó \( n \) là tổng số viên bi cần phân phối (ở đây là 2 viên), và \( k \) là số loại màu (ở đây là 3 màu).

Áp dụng công thức:
\[
\binom{2 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{4}{2} = 6
\]

Sau khi xác định số cách phân phối số bi của các màu, ta cần tính số cách chọn các viên bi từ từng màu:

1. **Trường hợp 1:** (x, y, z) = (1, 1, 3)
- Số cách chọn viên bi: \(\binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\)

2. **Trường hợp 2:** (x, y, z) = (1, 2, 2)
- Số cách chọn viên bi: \(\binom{6}{1} \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{4}{2} = 6 \cdot 10 \cdot 6 = 360\)

3. **Trường hợp 3:** (x, y, z) = (1, 3, 1)
- Số cách chọn viên bi: \(\binom{6}{1} \cdot \binom{5}{3} \cdot \binom{4}{1} = 6 \cdot 10 \cdot 4 = 240\)

4. **Trường hợp 4:** (x, y, z) = (2, 1, 2)
- Số cách chọn viên bi: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{2} = 15 \cdot 5 \cdot 6 = 450\)

5. **Trường hợp 5:** (x, y, z) = (2, 2, 1)
- Số cách chọn viên bi: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{4}{1} = 15 \cdot 10 \cdot 4 = 600\)

6. **Trường hợp 6:** (x, y, z) = (3, 1, 1)
- Số cách chọn viên bi: \(\binom{6}{3} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{1} = 20 \cdot 5 \cdot 4 = 400\)

Bây giờ cộng tất cả các trường hợp trên lại:
\[
120 + 360 + 240 + 450 + 600 + 400 = 2170
\]

Vậy số cách chọn 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu là **2170**.