Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét các cách chọn các câu hỏi theo độ khó sao cho đủ cả ba loại câu hỏi (dễ, trung bình và khó) trong tổng số 10 câu hỏi.

Giả sử \(x\) là số lượng câu hỏi dễ, \(y\) là số lượng câu hỏi trung bình, và \(z\) là số lượng câu hỏi khó. Chúng ta có điều kiện:

\[
x + y + z = 10
\]

với các ràng buộc:
- \(1 \leq x \leq 9\) (có ít nhất 1 câu hỏi dễ)
- \(1 \leq y \leq 7\) (có ít nhất 1 câu hỏi trung bình)
- \(1 \leq z \leq 4\) (có ít nhất 1 câu hỏi khó)

Bây giờ, chúng ta sẽ duyệt qua các giá trị hợp lệ của \(z\) (số câu hỏi khó) từ 1 đến 4.

### Khi \(z = 1\):
\[
x + y = 9
\]
\(x\) có thể là 1 đến 8 và \(y\) từ 8 đến 1. Các cặp \((x, y)\) có thể là:
- (1, 8)
- (2, 7)
- (3, 6)
- (4, 5)
- (5, 4)
- (6, 3)
- (7, 2)
- (8, 1)

**Số cách chọn**:
- \(\binom{9}{x}\) cho câu dễ
- \(\binom{7}{y}\) cho câu trung bình

Tính các số cách cho từng cặp:
- (1, 8): \( \binom{9}{1} \cdot \binom{7}{8} = 9 \cdot 0 = 0 \)
- (2, 7): \( \binom{9}{2} \cdot \binom{7}{7} = 36 \cdot 1 = 36 \)
- (3, 6): \( \binom{9}{3} \cdot \binom{7}{6} = 84 \cdot 7 = 588 \)
- (4, 5): \( \binom{9}{4} \cdot \binom{7}{5} = 126 \cdot 21 = 2646 \)
- (5, 4): \( \binom{9}{5} \cdot \binom{7}{4} = 126 \cdot 35 = 4410 \)
- (6, 3): \( \binom{9}{6} \cdot \binom{7}{3} = 84 \cdot 35 = 2940 \)
- (7, 2): \( \binom{9}{7} \cdot \binom{7}{2} = 36 \cdot 21 = 756 \)
- (8, 1): \( \binom{9}{8} \cdot \binom{7}{1} = 9 \cdot 7 = 63 \)

Tổng số cách khi \(z = 1\):
\[
0 + 36 + 588 + 2646 + 4410 + 2940 + 756 + 63 = 14400
\]

### Khi \(z = 2\):
\[
x + y = 8
\]
Các cặp \((x, y)\) có thể là:
- (1, 7)
- (2, 6)
- (3, 5)
- (4, 4)
- (5, 3)
- (6, 2)
- (7, 1)

**Số cách chọn**:
- (1, 7): \( \binom{9}{1} \cdot \binom{7}{7} = 9 \cdot 1 = 9 \)
- (2, 6): \( \binom{9}{2} \cdot \binom{7}{6} = 36 \cdot 7 = 252 \)
- (3, 5): \( \binom{9}{3} \cdot \binom{7}{5} = 84 \cdot 21 = 1764 \)
- (4, 4): \( \binom{9}{4} \cdot \binom{7}{4} = 126 \cdot 35 = 4410 \)
- (5, 3): \( \binom{9}{5} \cdot \binom{7}{3} = 126 \cdot 35 = 4410 \)
- (6, 2): \( \binom{9}{6} \cdot \binom{7}{2} = 84 \cdot 21 = 1764 \)
- (7, 1): \( \binom{9}{7} \cdot \binom{7}{1} = 36 \cdot 7 = 252 \)

Tổng số cách khi \(z = 2\):
\[
9 + 252 + 1764 + 4410 + 4410 + 1764 + 252 = 9661
\]

### Khi \(z = 3\):
\[
x + y = 7
\]
Các cặp \((x, y)\) có thể là:
- (1, 6)
- (2, 5)
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 2)
- (6, 1)

**Số cách chọn**:
- (1, 6): \( \binom{9}{1} \cdot \binom{7}{6} = 9 \cdot 7 = 63 \)
- (2, 5): \( \binom{9}{2} \cdot \binom{7}{5} = 36 \cdot 21 = 756 \)
- (3, 4): \( \binom{9}{3} \cdot \binom{7}{4} = 84 \cdot 35 = 2940 \)
- (4, 3): \( \binom{9}{4} \cdot \binom{7}{3} = 126 \cdot 35 = 4410 \)
- (5, 2): \( \binom{9}{5} \cdot \binom{7}{2} = 126 \cdot 21 = 2646 \)
- (6, 1): \( \binom{9}{6} \cdot \binom{7}{1} = 84 \cdot 7 = 588 \)

Tổng số cách khi \(z = 3\):
\[
63 + 756 + 2940 + 4410 + 2646 + 588 = 10903
\]

### Khi \(z = 4\):
\[
x + y = 6
\]
Các cặp \((x, y)\) có thể là:
- (1, 5)
- (2, 4)
- (3, 3)
- (4, 2)
- (5, 1)

**Số cách chọn**:
- (1, 5): \( \binom{9}{1} \cdot \binom{7}{5} = 9 \cdot 21 = 189 \)
- (2, 4): \( \binom{9}{2} \cdot \binom{7}{4} = 36 \cdot 35 = 1260 \)
- (3, 3): \( \binom{9}{3} \cdot \binom{7}{3} = 84 \cdot 35 = 2940 \)
- (4, 2): \( \binom{9}{4} \cdot \binom{7}{2} = 126 \cdot 21 = 2646 \)
- (5, 1): \( \binom{9}{5} \cdot \binom{7}{1} = 126 \cdot 7 = 882 \)

Tổng số cách khi \(z = 4\):
\[
189 + 1260 + 2940 + 2646 + 882 = 5917
\]

### Tính tổng tất cả các trường hợp:
Tổng số cách chọn là:
\[
14400 (z=1) + 9661 (z=2) + 10903 (z=3) + 5917 (z=4) = 40081
\]

Vậy có tổng cộng **40.081** đề kiểm tra trắc nghiệm có đủ cả ba loại câu hỏi.