Giải phương trình: √(x - 2000) + √(y - 2001) + √(z - 2002) = (x + y + z)/2 - 3030

Chúng ta có phương trình sau:

\[
\sqrt{x - 2000} + \sqrt{y - 2001} + \sqrt{z - 2002} = \frac{x + y + z}{2} - 3030.
\]

Đặt:

\[
a = \sqrt{x - 2000}, \quad b = \sqrt{y - 2001}, \quad c = \sqrt{z - 2002}
\]

Ta có:

\[
x = a^2 + 2000, \quad y = b^2 + 2001, \quad z = c^2 + 2002.
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
a + b + c = \frac{(a^2 + 2000) + (b^2 + 2001) + (c^2 + 2002)}{2} - 3030.
\]

Sắp xếp lại:

\[
a + b + c = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 6003}{2} - 3030.
\]

Nhân cả hai vế với 2:

\[
2(a + b + c) = a^2 + b^2 + c^2 + 6003 - 6060,
\]

hay:

\[
2(a + b + c) = a^2 + b^2 + c^2 - 57.
\]

Chuyển vế lại để có dạng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + b + c) - 57 = 0.
\]

Từ bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[
(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2),
\]

từ đó:

\[
\frac{(a + b + c)^2}{3} \leq a^2 + b^2 + c^2.
\]

Ta sẽ sử dụng biết rằng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + b + c) - 57 = 0.
\]

Chúng ta có thể đặt \( a + b + c = k \). Thay vào cùng một phương trình, ta có:

\[
\frac{k^2}{3} - 2k - 57 = 0.
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
k^2 - 6k - 171 = 0.
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
k = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 + 4 \times 171}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 684}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{720}}{2} = \frac{6 \pm 12\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 6\sqrt{5}.
\]

Ta tìm được các giá trị của \( k \) là:

\[
k = 3 + 6\sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad k = 3 - 6\sqrt{5}.
\]

Xét trường hợp của \( k \). Rõ ràng \( k = 3 - 6\sqrt{5} \) là âm, loại trừ.

Vậy \( k = 3 + 6\sqrt{5} \).

Cuối cùng, ta có thể quay lại với các giá trị của \( x, y, z \):

\[
\sqrt{x - 2000} + \sqrt{y - 2001} + \sqrt{z - 2002} = 3 + 6\sqrt{5}.
\]

Sử dụng các phương trình dạng:

\[
\sqrt{x - 2000} = a, \quad \sqrt{y - 2001} = b, \quad \sqrt{z - 2002} = c,
\]

có thể chọn các giá trị cho \( a, b, c \) sao cho thỏa mãn.

Tóm lại, các giá trị \( x, y, z \) có thể được tính từ \( a, b, c \), có thể cho là:

\[
x = (a^2 + 2000), \quad y = (b^2 + 2001), \quad z = (c^2 + 2002),
\]

trong đó phải chọn sao cho tổng của \( x, y, z \) thỏa mãn yêu cầu bậc hai ban đầu.

Quy tắc tổng quát tính là có thể:
- Giả sử \( x = 2000 + t_1^2 \)
- Giả sử \( y = 2001 + t_2^2 \)
- Giả sử \( z = 2002 + t_3^2 \)

Với các giá trị \( t_1, t_2, t_3 \) phù hợp.