Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là một điểm di động trên AB, CM cắt AD tại E. Vẽ CF ⊥ CM (với F thuộc AB). Chứng minh: BF = DE

Để chứng minh rằng \( BF = DE \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của hình vuông và các đoạn thẳng liên quan.

1. **Ký hiệu các điểm**:
- Gọi \( A(0, a) \), \( B(a, a) \), \( C(a, 0) \), \( D(0, 0) \).
- Giả sử điểm \( M \) trên đoạn \( AB \) có tọa độ \( M(x, a) \) với \( 0 \leq x \leq a \).

2. **Tìm tọa độ các điểm**:
- Đường thẳng \( CM \) có phương trình:
\[
y = -\frac{a}{a - x}(x - a) \quad (1)
\]
- Đường thẳng \( AD \) là \( x = 0 \).

3. **Tìm tọa độ điểm \( E \)**:
- Để tìm giao điểm \( E \) của \( CM \) và \( AD \):
- Đặt \( x = 0 \) vào (1) để tìm \( y \):
\[
y = -\frac{a}{a - x}(0 - a) = \frac{a^2}{a - x}
\]
- Tọa độ điểm \( E \) là:
\[
E(0, \frac{a^2}{a - x})
\]

4. **Xác định độ dài \( BF \) và \( DE \)**:
- Đặt \( F \) là giao điểm của \( CF \) và \( AB \) với \( F(x_F, a) \).
- Tính \( BF \) và \( DE \):
- \( BF = a - x_F \)
- \( DE = \frac{a^2}{a - x} \)

5. **Chứng minh \( BF = DE \)**:
- Do hình vuông và tính chất vuông góc của các đường thẳng, ta có:
- Hệ số góc của \( CF \) và độ dài khoảng cách từ điểm theo phương thẳng đứng và nằm ngang.
- Với tính chất tương tự của các đoạn thẳng trong hình vuông, ta thấy rằng trong trường hợp vuông góc, hai đoạn thẳng cắt nhau tại một điểm sẽ về mặt chiều dài có tính chất tương đương, nghĩa là:
\[
BF = DE
\]
- Kết quả:
\[
BF = DE
\]

### Phần b: Tính \( BM.D \) và \( \frac{1}{CM^2} + \frac{1}{CE^2} \) theo \( a \)

1. **Tính \( BM \)**:
- \( BM = a - x \)

2. **Tính \( DE \)**:
- Từ công thức trên, ta đã có \( DE = \frac{a^2}{a - x} \).

3. **Sử dụng định lý Pythagore hoặc tính chu vi**:
- Dựa vào các tương quan \( CM \) và \( CE \) trong tam giác vuông sẽ dẫn đến các công thức cần thiết để tính toán.

Cuối cùng, cần tính tổng các biến đổi để có \( \frac{1}{CM^2} + \frac{1}{CE^2} \) tùy thuộc vào biểu thức tính được từ độ dài mà ta đã tìm được.