Để giải bài toán này, ta thực hiện như sau:

**a) Tính độ cao AH của mái nhà:**

Trong tam giác vuông \(AHB\):

- Gọi AH là độ cao, AB là cạnh huyền. Ta có:

\[
\tan(42^\circ) = \frac{AH}{HB}
\]

Ta cần tìm HB trước. Cạnh HB có thể được tính từ cạnh BC:

- Trong tam giác ABC, theo định lý sin:

\[
\frac{BC}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(42^\circ)}
\]

Do đó, ta có:

\[
AC = \frac{BC \cdot \sin(42^\circ)}{\sin(30^\circ)}
\]

Thay BC = 15 cm và \(\sin(30^\circ) = 0.5\):

\[
AC = \frac{15 \cdot \sin(42^\circ)}{0.5} = 30 \cdot \sin(42^\circ)
\]

Sử dụng máy tính hoặc bảng lượng giác, ta có:

\(\sin(42^\circ) \approx 0.6691\).

Vậy

\[
AC \approx 30 \cdot 0.6691 \approx 20.08 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, chúng ta tính HB:

- Sử dụng định lý sin cho tam giác ABC:

\[
\frac{BC}{\sin(30^\circ)} = \frac{HB}{\sin(42^\circ)}
\]

Hay

\[
HB = \frac{BC \cdot \sin(42^\circ)}{\sin(30^\circ)} = 15 \cdot 0.6691 \cdot 2 = 20.08 \text{ cm}
\]

Giờ này, ta có độ cao AH:

\[
\tan(42^\circ) = \frac{AH}{20.08}
\]

Vậy,

\[
AH = 20.08 \cdot \tan(42^\circ)
\]

Sử dụng máy tính:

\(\tan(42^\circ) \approx 0.9004\),

\[
AH \approx 20.08 \cdot 0.9004 \approx 18.07 \, \text{cm}
\]

**b) Tính độ dài cạnh AC của mái nhà:**

Chúng ta đã tính đồng thời độ dài AC trong quá trình lên công thức, nên:

\[
AC \approx 20.08 \text{ cm}
\]

**Tóm lại:**

- Độ cao \(AH \approx 18.07 \, \text{cm}\)
- Độ dài cạnh \(AC \approx 20.08 \, \text{cm}\)