Cho hình vuông ABCD có tâm là O và a là một cạnh bất kỳ

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

**a)** Tính các độ dài vecto:
1. Gọi độ dài cạnh của hình vuông là \( a \).
2. Các điểm A, B, C, D có thể được gán tọa độ như sau:
- \( A(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) \)
- \( B(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) \)
- \( C(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}) \)
- \( D(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}) \)
- Tâm O là \( (0,0) \)

Ta sẽ tính:
- \( |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| \):
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2}, 0 \right) = (a, 0)
\]
\[
\overrightarrow{AD} = D - A = \left( -\frac{a}{2} + \frac{a}{2}, -a \right) = (0, -a)
\]
\[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (a, 0) + (0, -a) = (a, -a)
\]
\[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}
\]

- Tương tự tính các độ dài khác:
- \( |\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CB}| \)
- \( |\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{DA}| \)

**b)** Chứng minh rằng:
\[
\mathbf{u} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MD}
\]
không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Ta có:
- Gọi \( M(x_m, y_m) \).

Tính các vecto:
- \( \overrightarrow{MA} = A - M = \left(-\frac{a}{2} - x_m, \frac{a}{2} - y_m\right) \)
- \( \overrightarrow{MB} = B - M = \left(\frac{a}{2} - x_m, \frac{a}{2} - y_m\right) \)
- \( \overrightarrow{MC} = C - M = \left(\frac{a}{2} - x_m, -\frac{a}{2} - y_m\right) \)
- \( \overrightarrow{MD} = D - M = \left(-\frac{a}{2} - x_m, -\frac{a}{2} - y_m\right) \)

Thay vào công thức:
\[
\mathbf{u} = \left(-\frac{a}{2} - x_m, \frac{a}{2} - y_m\right) + \left(\frac{a}{2} - x_m, \frac{a}{2} - y_m\right) - \left(\frac{a}{2} - x_m, -\frac{a}{2} - y_m\right) - \left(-\frac{a}{2} - x_m, -\frac{a}{2} - y_m\right)
\]

Sau khi tính toán các vecto, bạn sẽ thấy rằng thành phần của \( \mathbf{u} \) không chứa \( x_m \) và \( y_m \), chứng tỏ nó không phụ thuộc vào vị trí M.

Cuối cùng, để tính độ dài của vecto \( \mathbf{u} \), bạn sẽ tính độ dài của các thành phần đã xác định ở trên.

Hy vọng cách làm này sẽ giúp bạn giải quyết bài toán một cách dễ hiểu!