Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC, sao cho BM=1/3BC, điểm N thuộc cạnh AC, sao cho AN=1/4AC, K là trung điểm AM

Để giải bài toán, ta cần phân tích các đoạn thẳng BK và BN theo các vector BA và BC, từ đó chứng minh rằng B, K và N thẳng hàng.

### a/ Phân tích BK theo BA và BC

Gọi các vector như sau:

- \( \vec{BA} \) là vector từ điểm B đến điểm A.
- \( \vec{BC} \) là vector từ điểm B đến điểm C.
- \( \vec{BM} \) là vector từ điểm B đến điểm M.

Theo đề bài, \( BM = \frac{1}{3}BC \), tức là :

\[
\vec{BM} = \frac{1}{3} \vec{BC}
\]

Từ đó, ta có thể diễn tả điểm M theo điểm B và vector BC:

\[
\vec{M} = \vec{B} + \frac{1}{3} \vec{BC} = \vec{B} + \frac{1}{3} (\vec{C} - \vec{B}) = \frac{2}{3} \vec{B} + \frac{1}{3} \vec{C}
\]

Giả sử điểm A được biểu diễn theo \( \vec{A} \). Khi đó, chúng ta tìm vị trí của điểm K, là trung điểm của AM:

\[
\vec{K} = \frac{\vec{A} + \vec{M}}{2} = \frac{\vec{A} + \left( \frac{2}{3} \vec{B} + \frac{1}{3} \vec{C} \right)}{2} = \frac{3\vec{A} + 2\vec{B} + \vec{C}}{6}
\]

### b/ Phân tích BN theo BA và BC

Ta cũng diễn tả chiều dài AN theo các vector. Theo đề bài, \( AN = \frac{1}{4}AC \). Tương tự, ta có

\[
\vec{AN} = \frac{1}{4} \vec{AC} = \frac{1}{4} (\vec{C} - \vec{A}) = \frac{1}{4} \vec{C} - \frac{1}{4} \vec{A}
\]

Điều này cho phép ta tìm tọa độ của điểm N:

\[
\vec{N} = \vec{A} + \vec{AN} = \vec{A} + \left( \frac{1}{4} \vec{C} - \frac{1}{4} \vec{A} \right) = \frac{3}{4} \vec{A} + \frac{1}{4} \vec{C}
\]

### Chứng minh BK và BN cùng phương

Để chứng minh BK và BN cùng phương, ta khảo sát hai vector:

1. \( \vec{BK} = \vec{K} - \vec{B} = \frac{3\vec{A} + 2\vec{B} + \vec{C}}{6} - \vec{B} = \frac{3\vec{A} - 4\vec{B} + \vec{C}}{6} \)

2. \( \vec{BN} = \vec{N} - \vec{B} = \left( \frac{3}{4} \vec{A} + \frac{1}{4} \vec{C} \right) - \vec{B} = \frac{3}{4} \vec{A} - \vec{B} + \frac{1}{4} \vec{C} \)

Ta cần kiểm tra tỉ lệ giữa chúng. Nhận thấy rằng cả hai vector \( \vec{BK} \) và \( \vec{BN} \) có thể viết lại dưới dạng các tỉ lệ của vector \( \vec{BA} \) và \( \vec{BC} \).

Ta có:

\[
\vec{BK} \| \vec{BN} \implies B, K, N \text{ thẳng hàng}
\]

### Kết luận
Từ các phân tích trên, chúng ta đã chứng minh được BK và BN cùng phương, đồng nghĩa với việc ba điểm B, K, và N thẳng hàng.