Để tính tổng \( S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots + \frac{10}{1024} \), chúng ta có thể nhận thấy rằng phân số có dạng tổng quát như sau:

\[
S = \sum_{n=1}^{10} \frac{n}{2^n}
\]

Chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một chuỗi dạng này. Một công thức hữu ích để tính tổng là:

\[
\sum_{n=1}^{k} n x^n = x \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{k} x^n \right)
\]

Với \( k = 10 \) và \( x = \frac{1}{2} \):

\[
\sum_{n=0}^{10} \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{11}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2048} \right) = 2 \cdot \frac{2047}{2048} = \frac{4094}{2048}
\]

Tiếp theo, ta lấy đạo hàm:

\[
\sum_{n=1}^{10} n x^n = x \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - x^{11}}{1 - x} \right)
\]

Tính \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - x^{11}}{1 - x} \right) \):

\[
f(x) = \frac{1 - x^{11}}{1 - x}
\]

Áp dụng công thức đạo hàm:

\[
f'(x) = \frac{(1-x)(-11x^{10}) - (1-x^{11})(-1)}{(1-x)^2} = \frac{-11x^{10}(1-x) + (1-x^{11})}{(1-x)^2}
\]

Tại \( x = \frac{1}{2} \):

\[
f'\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{-11 \left( \frac{1}{2} \right)^{10} \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{11}}{\left( \frac{1}{2} \right)^2}
\]
\[
= \frac{-11 \cdot \frac{1}{1024} \cdot \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2048}}{\frac{1}{4}}
\]
\[
= 4 \left( -\frac{11}{2048} + 1 - \frac{1}{2048} \right)
\]
\[
= 4 \left(1 - \frac{12}{2048} \right) = 4 \cdot \frac{2036}{2048} = \frac{8144}{2048}
\]

Cuối cùng, tổng \( S \):

\[
S = \frac{1}{2} f'\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8144}{2048} = \frac{8144}{4096}
\]

Rút gọn phân số \( \frac{8144}{4096} \) được:

\[
= \frac{2036}{1024}
= \frac{1018}{512}
= \frac{509}{256}
\]

Vậy tổng \( S = \frac{509}{256} \).