Để chứng minh rằng \( a \parallel b \) và tính \( N_1 \), ta sẽ sử dụng các tính chất của góc và định lý giao nhau của hai đường thẳng song song.

### a) Chứng minh \( a \parallel b \)

1. **Xem xét hai góc:** Từ hình vẽ, ta có:
- \( \angle AMN = 100^\circ \)
- \( \angle BMN = 45^\circ \)

2. **Tính \( \angle A + \angle B \):**
- Sử dụng tổng các góc trong một tam giác:
\[
\angle AMN + \angle BMN + \angle MAN = 180^\circ
\]
- Thay các giá trị vào:
\[
100^\circ + 45^\circ + \angle MAN = 180^\circ
\]
- Tính \( \angle MAN \):
\[
\angle MAN = 180^\circ - 100^\circ - 45^\circ = 35^\circ
\]

3. **Góc đồng vị:**
- Quan sát được \( \angle MAN \) và góc đối diện với nó (góc tại điểm M) cũng là \( 35^\circ \).

4. **Kết luận:**
- Do đó, nếu hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng \( a \) và \( b \) là song song, tức là \( a \parallel b \).

### b) Tính \( N_1 \)

1. **Xác định vị trí \( N_1 \):**
- Từ hình vẽ, \( N_1 \) được xem là góc trong tam giác \( AMN \) với các góc đã biết.

2. **Sử dụng tổng góc tam giác:**
- Ta có:
\[
N_1 = 180^\circ - \angle AMN - \angle BMN
\]
- Thay các giá trị đã xác định:
\[
N_1 = 180^\circ - 100^\circ - 45^\circ = 35^\circ
\]

### Kết luận
- Chúng ta đã chứng minh rằng \( a \parallel b \) và \( N_1 = 35^\circ \).