Để chứng minh BD là đường trung trực của AC trong tứ giác ABCD với AB = BC và CD = DA, chúng ta sẽ làm theo các bước như sau:

### a) Chứng minh BD là đường trung trực của AC:

1. **Định nghĩa đường trung trực**: Đường trung trực của đoạn thẳng AC là tập hợp tất cả các điểm cách đều từ hai đầu mút A và C.

2. **Xét khoảng cách**: Để chứng minh BD là đường trung trực của AC, chúng ta cần chứng minh rằng \( BD \) có độ dài bằng nhau từ điểm B đến điểm A và từ điểm B đến điểm C. Tức là ta cần chứng minh rằng \( BA = BC \).

3. **Sử dụng tính đối xứng**:
- Vì AB = BC, tứ giác ABCD là hình thoi hoặc bình hành. Điều này có nghĩa là A và C ở vị trí đối xứng qua BD.
- Do AB = BC và CD = DA, nếu chúng ta vẽ đường chéo BD, cứ cho BD cắt AC tại điểm M, ta có AM = MC (vì M là trung điểm của AC).

4. **Kết luận**:
- Do đó, BD là đường trung trực của AC.

### b) Tính góc A và góc C:

Vì AB = BC và CD = DA, tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Điều này cho thấy tứ giác ABCD có tính chất đối xứng. Cụ thể là:

- Từ tính chất của hình bình hành hay hình thoi, chúng ta có:
\[
\angle A = \angle C
\]
\[
\angle B = \angle D
\]

- Với tổng các góc trong tứ giác bằng 360 độ, ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]
Hay:
\[
2\angle A + 2\angle B = 360^\circ \implies \angle A + \angle B = 180^\circ
\]

Từ đó, chúng ta có thể tính góc A và góc C bằng cách xác định giá trị của góc B (hoặc D) nếu có thông tin cụ thể về tứ giác này như các độ dài hoặc các góc khác. Tuy nhiên, nếu không có thông tin cụ thể, chúng ta chỉ biết rằng:
\[
\angle A = \angle C
\]
và giá trị của chúng tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể của tứ giác ABCD.

### Kết luận:
- BD là đường trung trực của AC.
- Góc A và góc C bằng nhau, nhưng không thể tính chính xác nếu không có thêm thông tin cụ thể.