Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( P = \frac{1}{4}x - 4\sqrt{x} + 3 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm**: Đầu tiên, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số \( P \) theo biến \( x \):

\[
\frac{dP}{dx} = \frac{1}{4} - \frac{4}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4} - \frac{2}{\sqrt{x}}
\]

2. **Giải phương trình đạo hàm bằng 0**: Để tìm cực trị, ta giải phương trình \( \frac{dP}{dx} = 0 \):

\[
\frac{1}{4} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 0
\]

Chúng ta có:

\[
\frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 64
\]

3. **Kiểm tra tính chất của cực trị**: Để xác định xem đây là điểm cực đại hay cực tiểu, chúng ta tính đạo hàm bậc hai:

\[
\frac{d^2P}{dx^2} = \frac{2}{x^{3/2}}
\]

Với \( x > 0 \), đạo hàm bậc hai \( \frac{d^2P}{dx^2} > 0 \), điều này cho thấy hàm số \( P \) có một điểm cực tiểu tại \( x = 64 \). Do đó, không phải đây là điểm cực đại.

4. **Giá trị của \( P \) tại \( x = 64 \)**:

\[
P(64) = \frac{1}{4}(64) - 4\sqrt{64} + 3 = 16 - 32 + 3 = -13
\]

5. **Xét giá trị có thể của \( x \)**: Do hàm \( P \) là hàm bậc nhất và có chứa căn, ta cần xem xét giá trị tại các biên. Khi \( x \to 0 \) hay \( x \to +\infty \):

- Khi \( x \to 0 \):

\[
P(0) = 3
\]

- Khi \( x \to +\infty \):

\[
P(x) \approx \frac{1}{4}x \to +\infty
\]

6. **Kết luận**: Giá trị lớn nhất của \( P \) xảy ra ở biên \( x = 0 \) với giá trị \( P(0) = 3 \) và dần dần tăng khi \( x \to +\infty\).

Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là:

\[
P_{\text{max}} = +\infty
\]