Tam giác ABC nhọn . Vẽ đg tròn O dg kính BC đường tròn cắt AB, AC tại D và E . H là giao điểm BE và CD

Để chứng minh rằng \(CD\) vuông góc với \(AB\), \(BE\) vuông góc với \(AC\) và \(AH\) vuông góc với \(BC\) trong tam giác nhọn \(ABC\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \(O\) là tâm của đường tròn đường kính \(BC\).
- Đường tròn cắt \(AB\) tại điểm \(D\) và cắt \(AC\) tại điểm \(E\).
- \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\).

2. **Chứng minh \(CD \perp AB\)**:
- Do \(D\) là điểm trên đường tròn đường kính \(BC\), theo tính chất của đường tròn, góc \(BDC\) là góc vuông (góc nội tiếp).
- Do đó, \(CD\) vuông góc với \(AB\).

3. **Chứng minh \(BE \perp AC\)**:
- Tương tự như trên, do \(E\) là điểm trên đường tròn đường kính \(BC\), góc \(BEC\) cũng là góc vuông.
- Do đó, \(BE\) vuông góc với \(AC\).

4. **Chứng minh \(AH \perp BC\)**:
- Từ 2 chứng minh trên, ta có \(CD \perp AB\) và \(BE \perp AC\).
- Tại điểm \(H\), \(AH\) là đường trung tuyến của tam giác có cạnh \(BC\) nên tại điểm giao \(H\), ta có thể vận dụng định lý vuông góc:
- Xét tứ giác \(ABHC\), với 2 cặp cạnh vuông góc, theo định lý vuông góc (các cạnh của tam giác vuông tạo thành tam giác vuông), từ đó suy ra \(AH\) là đường vuông góc với \(BC\).

5. **Kết luận**:
- Từ các chứng minh trên, chúng ta có:
\[
CD \perp AB, \quad BE \perp AC, \quad AH \perp BC.
\]
- Vậy là ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.

Do đó, \(CD\) vuông góc với \(AB\), \(BE\) vuông góc với \(AC\), và \(AH\) vuông góc với \(BC\) là đúng.