Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Chứng minh rằng ∆ABD = ∆EBD và BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh rằng ∆ABD = ∆EBD và BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE.

1. **Giả thiết**:
- Tại điểm A, ∆ABC vuông tại A (AB < AC).
- Đường phân giác BD chia cạnh AC tại D.
- Trên cạnh BC chọn điểm E sao cho BE = BA.

2. **Chứng minh ∆ABD = ∆EBD**:
- Ta có:
- AB = EB (vì BE = BA)
- BD chung (cạnh thứ hai trong hai tam giác)
- AD = ED (vì D là điểm trên đường phân giác, AE là đối xứng qua BD)

- Vậy từ hai tam giác có hai cạnh và một góc xen giữa bằng nhau, suy ra:
\[
\Delta ABD \cong \Delta EBD
\]

3. **Chứng minh BD là đường trung trực của AE**:
- Như đã chứng minh, AD = ED và BD chung.
- Do đó, BD vuông góc với AE, tức là BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE.

### b) Kẻ AK ⊥ BC (K thuộc BC). Chứng minh rằng AE là phân giác của KAC.

1. **Kẻ AK ⊥ BC**:
- Theo định nghĩa, góc KAB và góc KAE sẽ tạo thành những góc bằng nhau vì BK là đường vuông góc với AC.

2. **Chứng minh AE là phân giác**:
- Ta có ∠KAB = ∠KAE và do đó AE là phân giác của góc KAC.

### c) Gọi F là giao điểm của AK và BD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt EF tại G. Chứng minh rằng EF || AC và BD, GC đồng quy.

1. **Gọi EF || AC**:
- Do EF song song với BC (đường song song với đường đứng).
- Ta có cặp góc đồng vị khi kẻ đường song song này, do đó EF || AC.

2. **Chứng minh BD, GC đồng quy**:
- Ta quan sát rằng BD và GC đều nằm cắt nhau tại điểm G.
- Từ điều kiện các tam giác bằng nhau như đã chứng minh, ta có đồng quy tại điểm G.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh thành công các yêu cầu trong bài toán: ∆ABD = ∆EBD, BD là đường trung trực của AE, AE là phân giác của KAC, EF || AC, và BD, GC đồng quy.