Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{CE}{BF} = \frac{AC^3}{AB^3} \) trong tam giác vuông \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý Thales và tính chất của hình chiếu.

1. **Gọi các cạnh của tam giác**:
- Giả sử \( AC = b \) và \( AB = a \).

2. **Tính độ dài AA'**:
- Do \( AA' \) là đường cao, ta có:
\[
AA' = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{a \cdot b}{c}, \text{ trong đó } c = BC.
\]

3. **Hình chiếu lên các cạnh**:
- \( E \) là hình chiếu của \( A' \) lên \( AC \) và \( F \) là hình chiếu của \( A' \) lên \( AB \).
- Từ hình học, ta có:
\[
CE = AC \cdot \frac{AA'}{AB} = b \cdot \frac{AA'}{a} \quad \text{và} \quad BF = AB \cdot \frac{AA'}{AC} = a \cdot \frac{AA'}{b}.
\]

4. **Tính tỉ số \( \frac{CE}{BF} \)**:
\[
\frac{CE}{BF} = \frac{b \cdot \frac{AA'}{a}}{a \cdot \frac{AA'}{b}} = \frac{b^2}{a^2}.
\]

5. **Sử dụng quan hệ giữa các cạnh**:
- Ta biết rằng \( \frac{CE}{BF} = \frac{AC^2}{AB^2} = \frac{b^2}{a^2} \).

6. **Kết luận**:
- Để có tỉ số \( \frac{AC^3}{AB^3} \) ta tiến hành nhân cả hai vế với \( \frac{AC}{AB} = \frac{b}{a} \):
\[
\frac{CE}{BF} = \left(\frac{b^2}{a^2}\right) \cdot \left(\frac{b}{a}\right) = \frac{b^3}{a^3}.
\]

Vậy, ta chứng minh được rằng:
\[
\frac{CE}{BF} = \frac{AC^3}{AB^3}.
\]

Đó là cách chứng minh mối liên hệ giữa các hình chiếu trong tam giác vuông.