Để giải bài toán về tam giác vuông ABC với các thông số đã cho, ta có thể thực hiện các bước sau:

### Bài 1: Giải tam giác ABC.
1. **Tìm độ dài các cạnh còn lại**:
- **Độ dài cạnh AC**:
\[
\tan(C) = \frac{AB}{AC} \implies AC = \frac{AB}{\tan(C)} = \frac{6}{\tan(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6\sqrt{3} \text{ cm}
\]

- **Độ dài cạnh BC**:
\[
\text{Sử dụng định lý Pythagore: } BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
= 6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144 \implies BC = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

### Bài 2: Tính độ dài AH (đường cao từ A) và BH.

2. **Tính AH (đường cao từ A)**:
- Diện tích S của tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

- Tính AH:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \implies 18\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot AH \implies AH = \frac{36\sqrt{3}}{12} = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

3. **Tính BH**:
- Sử dụng tỷ lệ:
\[
BH = AC - AH = 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

### Bài 3: Chứng minh:
Chứng minh:
\[
AC \cdot \sin C + AB \cdot \sin B = \frac{4S_{ABC}}{BC}
\]
- **Tính** \(S_{ABC}\): Đã tính \(S_{ABC} = 18\sqrt{3}\).
- **Giá trị cần tính**:
- \(AC \cdot \sin C = 6\sqrt{3} \cdot 0.5 = 3\sqrt{3}\)
- \(AB \cdot \sin B = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\)

Kết quả là:
\[
3\sqrt{3} + 3 = 3(\sqrt{3} + 1) = \frac{4 \cdot 18\sqrt{3}}{12}
\]

Như vậy, đã chứng minh thành công.