Tìm a để: 10x^2 - 7x +a chia hết cho (2x + 1)

Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng định lý chia.

### Phần a:

Ta cần tìm \( a \) sao cho đa thức \( P(x) = 10x^2 - 7x + a \) chia hết cho đa thức \( D(x) = 2x + 1 \). Theo định lý chia, đối với \( P(x) \) chia hết cho \( D(x) \), thì \( P(-\frac{1}{2}) = 0 \).

Tính giá trị của \( P(-\frac{1}{2}) \):

\[
P\left(-\frac{1}{2}\right) = 10\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 7\left(-\frac{1}{2}\right) + a
\]

\[
= 10 \cdot \frac{1}{4} + \frac{7}{2} + a
\]

\[
= \frac{10}{4} + \frac{14}{4} + a = \frac{24}{4} + a = 6 + a
\]

Để \( P(-\frac{1}{2}) = 0 \), ta có:

\[
6 + a = 0 \implies a = -6
\]

Vậy giá trị của \( a \) là \( -6 \).

### Phần b:

Chúng ta cần tìm số nguyên \( x \) sao cho \( 2x^2 - x + 2 \) chia hết cho \( 2x + 1 \).

Tương tự như phần a, ta sẽ tính \( Q(-\frac{1}{2}) \):

\[
Q\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + 2
\]

\[
= 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2
\]
\[
= \frac{2}{4} + \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{12}{4} = 3
\]

Vì \( 2x^2 - x + 2 \) không chia hết cho \( 2x + 1 \) với \( x = -\frac{1}{2} \) (kết quả là 3), nên ta cần tìm các số nguyên \( x \) khác sao cho:

\[
2x^2 - x + 2 \equiv 0 \mod (2x + 1).
\]

Ta có thể làm điều này bằng cách thử các giá trị nguyên cho \( x \) và kiểm tra:

1. \( x = 0 \): \( 2(0)^2 - (0) + 2 = 2 \) (không chia hết)
2. \( x = 1 \): \( 2(1)^2 - (1) + 2 = 3 \) (không chia hết)
3. \( x = -1 \): \( 2(-1)^2 - (-1) + 2 = 5 \) (không chia hết)
4. \( x = -2 \): \( 2(-2)^2 - (-2) + 2 = 10 \) (không chia hết)
5. \( x = 2 \): \( 2(2)^2 - (2) + 2 = 6 \) (không chia hết)
6. \( x = -3 \): \( 2(-3)^2 - (-3) + 2 = 25 \) (không chia hết)

Tiếp tục thử cho đến khi tìm giá trị thích hợp, tuy nhiên do tính chất của đa thức, ta có thể tìm nghiệm bằng cách thăm dò hoặc biểu diễn một cách tổng quát. Với phương pháp này hơi mong manh, theo nguyên lý họa đồ ngầm các giá trị có thể năm ở chính xác hơn. Vậy nên có lẽ cần dùng thêm số lượng thử nghiệm.

Vì vậy ta không có nhiều kết quả hợp lệ cho \( x \) với cách bình thường nhất định không đạt được. Hoặc cũng có thể biểu diễn lại và thử tổ hợp bù trừ với đa thức tự tìm. Do đó, kết luận cho \( x \) khó chính xác nếu chỉ thử lần lượt, cần có phương pháp khác thích hợp hơn trong trường hợp này.