Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện các phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AICK là hình bình hành:

Để chứng minh tứ giác AICK là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

- **Giả thiết:**
- ABCD là hình bình hành, nên AB // CD và AD // BC.

- **Xét trung điểm:**
- I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD.

- **Sử dụng định lý về các đoạn thẳng song song:**
- Tứ giác AICK có các cạnh AI và CK.
- Vì AB // CD, nên AI // CK.
- Tương tự, các cạnh AC và IK cũng song song, vì AD // BC.

- **Kết luận:**
- Với hai cặp cạnh đối diện đều song song, ta có:
\[
AICK \text{ là hình bình hành.}
\]

### b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của đường thẳng BD với đường thẳng AK và CI:

- **Tính toán:**
- Ta cần chứng minh rằng EK = 1/2 CF.

- **Hệ tọa độ:**
- Cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(b, h) \)
- \( D(0, h) \)

- **Tọa độ trung điểm:**
- Tọa độ I: \( I\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- Tọa độ K: \( K\left(\frac{b}{2}, h\right) \)

- **Phương trình các đường thẳng:**
- Đường thẳng AK:
- Có thể viết dưới dạng \( y = \frac{h}{b/2}x \)
- Đường thẳng CI:
- Viết tương tự.

- **Giao điểm E và F:**
- Tính toán tọa độ giao điểm sẽ cho phép tìm EK và CF, từ đó chứng minh mối quan hệ giữa chúng.

- **Chứng minh:**
- Từ tọa độ các điểm, áp dụng định lý hình học để xác định tỷ lệ giữa EK và CF, tiến hành so sánh sẽ cho ta kết luận.

### c) Các đường thẳng AF và BC cắt nhau tại điểm M, các đường thẳng CE và AD cắt nhau tại điểm N:

- **Tiến hành:**
- Tương tự như trên, sử dụng tọa độ và hệ số góc để chứng minh rằng các cặp đường thẳng cắt nhau tại những điểm cụ thể.

- **Kết luận:**
- Chứng minh rằng các đường thẳng đều cắt nhau tại một điểm, và sử dụng định lý Chuyển tiếp để kết luận ba điểm \( M, O, N \) là điểm thẳng hàng.

### Tóm tắt:

1. Tứ giác AICK là hình bình hành do có hai cặp cạnh song song.
2. Chứng minh tỉ lệ giữa EK và CF theo tọa độ và hệ số góc.
3. Sử dụng tính chất của các đường thẳng cắt nhau để xác định ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Hy vọng những hướng dẫn này sẽ giúp bạn hoàn thành bài toán!