Để chứng minh tứ giác BFEC là hình thang cân, ta sẽ chứng minh rằng hai cạnh BF và CE song song và bằng nhau.

1. **Xét tam giác ABC**: Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, ta có \( AB = AC \).

2. **Hình chiếu E và F**:
- \( E \) là hình chiếu của \( B \) lên \( AC \).
- \( F \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AB \).

3. **Phân tích góc**:
- Xem \( \angle ABE \) và \( \angle ACF \):
- Vì \( E \) là hình chiếu, ta có \( \angle ABE = 90^\circ \) và \( \angle ACF = 90^\circ \).
- Đối với tam giác ABC, ta có:
- \( \angle ABC = \angle ACB \) (vì tam giác ABC là tam giác cân).

4. **Sử dụng góc**:
- Ta có:
\[
\angle ABE + \angle ACF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
\]
- Do đó, \( BF \) // \( CE \) (vì tổng hai góc trong cùng một mặt phẳng tạo thành đường thẳng là \( 180^\circ \)).

5. **Độ dài các cạnh**:
- Vì \( \triangle ABE \sim \triangle ACF \) (theo tỉ lệ đường cao với cạnh đáy và góc tương ứng), ta có:
\[
\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AF}.
\]
- Nhưng \( AB = AC \) và \( AE = AF \) (cả hai đều là hình chiếu bạn đã thực hiện từ đỉnh của tam giác), nên ta có:
\[
BF = CE.
\]

6. **Kết luận**:
- Từ các điểm trên, ta có \( BF \) // \( CE \) và \( BF = CE \).
- Do đó, tứ giác BFEC là hình thang cân.

Vậy ta đã chứng minh xong rằng BFEC là hình thang cân.