Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AB^2} \), chúng ta sẽ sử dụng một số định lý và công thức liên quan đến tam giác vuông.

### a) Chứng minh \( \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AB^2} \)

1. Đặt \( AC = b \), \( AB = a \) và \( AH = h \).
2. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies BC^2 = a^2 + b^2
\]
3. Cách tìm chiều dài của AH (chiều cao từ A đến BC):
Ta áp dụng công thức diện tích của tam giác ABC theo các cạnh:
\[
S = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} a \cdot b
\]
Cũng có công thức diện tích theo cạnh đáy BC và chiều cao AH:
\[
S = \frac{1}{2} BC \cdot AH \implies AH = \frac{S \cdot 2}{BC}
\]
Vậy, thay vào công thức, ta có:
\[
AH = \frac{a \cdot b}{BC}
\]
Nhắc lại rằng \( BC = \sqrt{a^2 + b^2} \). Cho nên, ta có:
\[
AH = \frac{a \cdot b}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
4. Tính \( AH^2 \):
\[
AH^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}
\]
5. Tìm giá trị \( \frac{1}{AH^2} \):
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
\]
6. Tính \( \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AB^2} \):
\[
\frac{1}{AC^2} = \frac{1}{b^2}, \quad \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{a^2} \implies \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AB^2}
\]

### b) Tính AH biết \( AC = 12 \), \( BC = 15 \)

1. Theo định lý Pythagore, ta tính \( AB \):
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \implies AB^2 + 12^2 = 15^2
\implies AB^2 + 144 = 225
\implies AB^2 = 81 \implies AB = 9
\]

2. Áp dụng công thức tính AH:
\[
AH = \frac{AC \cdot AB}{BC} = \frac{12 \cdot 9}{15} = \frac{108}{15} = 7.2
\]

Vậy, giá trị của \( AH \) là \( 7.2 \).