Cho các số nguyên a; b thoả mãn a^2+b^2 chia hết cho 27. Chứng minh rằng ab chia hết cho 81

Để chứng minh rằng \( ab \) chia hết cho 81 khi \( a^2 + b^2 \) chia hết cho 27, ta sẽ sử dụng tính chất của các số dư khi chia cho 27.

Trước hết, xét tổng \( a^2 + b^2 \). Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được viết dưới dạng dư (mod 27). Các số dư của \( a \) và \( b \) khi chia cho 27 sẽ là từ 0 đến 26.

Chúng ta có thể tính các giá trị của \( a^2 \mod 27 \):

\[
\begin{align*}
0^2 & \equiv 0 \mod 27, \\
1^2 & \equiv 1 \mod 27, \\
2^2 & \equiv 4 \mod 27, \\
3^2 & \equiv 9 \mod 27, \\
4^2 & \equiv 16 \mod 27, \\
5^2 & \equiv 25 \mod 27, \\
6^2 & \equiv 36 \equiv 9 \mod 27, \\
7^2 & \equiv 49 \equiv 22 \mod 27, \\
8^2 & \equiv 64 \equiv 10 \mod 27, \\
9^2 & \equiv 81 \equiv 0 \mod 27, \\
10^2 & \equiv 100 \equiv 19 \mod 27, \\
11^2 & \equiv 121 \equiv 16 \mod 27, \\
12^2 & \equiv 144 \equiv 9 \mod 27, \\
13^2 & \equiv 169 \equiv 22 \mod 27, \\
14^2 & \equiv 196 \equiv 10 \mod 27, \\
15^2 & \equiv 225 \equiv 0 \mod 27, \\
16^2 & \equiv 256 \equiv 19 \mod 27, \\
17^2 & \equiv 289 \equiv 16 \mod 27, \\
18^2 & \equiv 324 \equiv 9 \mod 27, \\
19^2 & \equiv 361 \equiv 22 \mod 27, \\
20^2 & \equiv 400 \equiv 10 \mod 27, \\
21^2 & \equiv 441 \equiv 0 \mod 27, \\
22^2 & \equiv 484 \equiv 19 \mod 27, \\
23^2 & \equiv 529 \equiv 16 \mod 27, \\
24^2 & \equiv 576 \equiv 9 \mod 27, \\
25^2 & \equiv 625 \equiv 22 \mod 27, \\
26^2 & \equiv 676 \equiv 10 \mod 27.
\end{align*}
\]

Từ các phép tính trên, các giá trị của \( a^2 \mod 27 \) là \( 0, 1, 4, 9, 10, 16, 19, 22, 25 \).

Bây giờ, với \( a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 27 \), ta sẽ xem xét các cặp giá trị của \( a^2 \) và \( b^2 \) có thể đạt được. Điều này có nghĩa là \( a^2 \) và \( b^2 \) sẽ lấy hai giá trị sao cho tổng của chúng chia hết cho 27.

Tuy nhiên, điều quan trọng là, nếu \( a^2 + b^2 \equiv 0 \) thì ít nhất một trong hai số \( a \) hoặc \( b \) phải chia hết cho 9 (vì \( 9 \equiv 0 \mod 27 \)). Giả sử \( a \equiv 0 \mod 9 \) và \( b \equiv 0 \mod 9 \), nghĩa là \( a = 9m \) và \( b = 9n \) cho một số nguyên \( m, n \).

Do đó, chúng ta có:

\[
ab = (9m)(9n) = 81mn.
\]

Suy ra, \( ab \) chia hết cho 81.

Nếu một trong \( a \) hoặc \( b \) không chia hết cho 9, thì bên kia phải chia hết cho 9 để đảm bảo tổng là chia hết cho 27. Điều ấy vẫn đảm bảo rằng tích \( ab \) cũng sẽ chia hết cho 81.

Cuối cùng, vì \( ab \) luôn chia hết cho 81 khi \( a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 27 \), ta đã chứng minh thành công điều cần chứng minh.