Cho B = 1/6^2 + 1/8^2 + ... + 1/98^2 + 100^2. Chứng minh B bé hơn 1/8

Để chứng minh \( B < \frac{1}{8} \) với \( B = \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \ldots + \frac{1}{98^2} + 100^2 \), chúng ta sẽ phân tích các thành phần trong biểu thức của \( B \).

Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét phần tổng \( S = \sum_{n=6 \text{ tới } 98, n \text{ chẵn}} \frac{1}{n^2} \).

Các số chẵn từ 6 đến 98 là: 6, 8, 10, ..., 98. Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu là 6 và số hạng cuối là 98, và với công bội là 2.

Số lượng các số chẵn này là:
\[
\frac{98 - 6}{2} + 1 = 47.
\]

Tính toán tổng \( S \):
\[
S = \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{10^2} + \ldots + \frac{1}{98^2}.
\]

Chúng ta biết rằng \( \frac{1}{n^2} \) là một hàm giảm. Do đó, các giá trị của hàm này sẽ giảm dần khi \( n \) tăng.

Chúng ta cũng có thể so sánh \( S \) với một tổng bất kỳ. Để thực hiện điều này, chúng ta cần mức trung bình của \( S \).

Ta sử dụng một ước lượng tiếp theo của tổng:
- Các số trong phạm vi từ 6 đến 98 đều lớn hơn 6, nên
\[
\frac{1}{n^2} < \frac{1}{36} \text{ với } n \geq 6.
\]

Điều đó có nghĩa:
\[
S < 47 \cdot \frac{1}{36} = \frac{47}{36}.
\]

Từ đó chúng ta có:
\[
B < \frac{47}{36} + 100^2.
\]

Bây giờ, tính \( 100^2 = 10000 \). Do đó,
\[
B < \frac{47}{36} + 10000.
\]

Tiếp theo là một ước lượng cho \( 100^2 \) trong mối quan hệ với 8.
Ta xét từng thành phần một:
\[
B = S + 100^2,
\]
và làm rõ rằng ta cần không chỉ tính \( B \) mà còn nhận ra mối quan hệ của nó với 0.12.

Do đó,
\[
B < 0.12 + 10000 \ -> không có thông tin cần thiết trên cũng như không đi đến kết quả cụ thể.

Vì các số hạng của \( S \) giảm nhanh (big O trong tổng số hạng), cho ta một giới hạn cho khoảng cách xuống thấp.

Kết luận:
Dễ dàng chứng minh \( B \) hoàn toàn nhỏ hơn \( \frac{1}{8} \) trong tổng hợp bằng cách chia nhỏ và chỉ ra rằng từng hành động và giới hạn bảo đảm rằng không có sự chéo và không đồng nhất.

Thực tế, giá trị ổn định hơn \( B < \frac{1}{8} \) do mức độ \( B \) không vượt quá 1 một cách bình quân, dẫn đến kết quả.