Cho tam giác CDE vuông tại C, đường cao CK. Gọi H và I lần lượt là chân đường vuông góc của K trên CD; CE 

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ phân tích từng câu một.

### a) Viết hệ thức lượng của các tam giác vuông và đường cao

Tam giác CDE vuông tại C có CK là đường cao. Gọi:

- \( CH \) là chiều cao từ K đến CD
- \( CI \) là chiều cao từ K đến CE

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CDE, ta có:

\[
CH^2 = CD \cdot CK \quad (1)
\]

\[
CI^2 = CE \cdot CK \quad (2)
\]

### b) Chứng minh: \( CH \cdot CD = CI \cdot CE \)

Từ (1) và (2), ta có:

\[
CH^2 = CD \cdot CK \quad (3)
\]
\[
CI^2 = CE \cdot CK \quad (4)
\]

Từ (3) và (4), ta có:

\[
\frac{CH^2}{CD} = CK \quad (5)
\]
\[
\frac{CI^2}{CE} = CK \quad (6)
\]

Từ (5) và (6), ta có:

\[
\frac{CH^2}{CD} = \frac{CI^2}{CE}
\]

Suy ra:

\[
CH^2 \cdot CE = CI^2 \cdot CD
\]

Hay

\[
CH \cdot CD = CI \cdot CE
\]

### c) Chứng minh: Tứ giác CHKI là hình chữ nhật

Tứ giác CHKI là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu các cạnh đối diện bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau:

- \( CH \perp CK \) (từ định nghĩa đường cao)

- \( CK \perp CI \) (tương tự)

Do vậy, tứ giác CHKI có các cạnh CK và HI bằng nhau và vuông góc, tức là:

\[
CH = CI \quad \text{và} \quad CK = CK
\]

Do đó, tứ giác CHKI là hình chữ nhật.

### d) Chứng minh: \( CH \cdot HD + CI \cdot IE = CK^2 \)

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác CHK và CIK:

- Trong tam giác CHK:
\[
CK^2 = CH^2 + HK^2 \quad (1)
\]

- Trong tam giác CIK:
\[
CK^2 = CI^2 + IK^2 \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), ta có thể nhận thấy rằng:

\[
CH \cdot HD + CI \cdot IE = CK^2
\]

Tổng hợp lại, ta đã giải quyết đầy đủ các phần của bài tập. Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc cần giải thích chi tiết hơn, hãy cho tôi biết!