Để xác định các tham số \( a, b, c \) của đa thức \( P(x) = ax^2 + bx + c \) biết rằng \( x = \frac{1}{2} \) là một nghiệm, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào đa thức**:
\[
P\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0
\]
Từ đó, ta có:
\[
\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 0
\]

2. **Biến đổi phương trình**:
Nhân cả phương trình với 4 để loại bỏ phân số:
\[
a + 2b + 4c = 0 \quad \text{(1)}
\]

3. **Điều kiện về \( a, b, c \)**:
- \( a \) nhỏ hơn \( c \) (tức là \( a < c \))
- \( c \) phải là một số đơn vị (tức là \( c = 1 \) hoặc \( c = -1 \))

4. **Xét các trường hợp cho \( c \)**:
- **Trường hợp 1**: Nếu \( c = 1 \)
\[
a + 2b + 4(1) = 0 \implies a + 2b + 4 = 0 \implies a + 2b = -4 \quad \text{(2)}
\]
Với điều kiện \( a < 1 \), ta có thể tìm \( b \) từ (2).

- **Trường hợp 2**: Nếu \( c = -1 \)
\[
a + 2b + 4(-1) = 0 \implies a + 2b - 4 = 0 \implies a + 2b = 4 \quad \text{(3)}
\]
Với điều kiện \( a < -1 \), ta tiếp tục tìm \( b \) từ (3).

5. **Giải các phương trình để tìm \( a, b, c \)**:
- Chọn một giá trị cho \( a \) để tìm \( b \) từ (2) hoặc (3).

Ví dụ: Nếu chọn \( c = 1 \) và \( a = -5 \) (thỏa mãn \( a < 1 \)):
\[
-5 + 2b = -4 \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}
\]
Như vậy, một bộ tham số có thể là \( a = -5, b = \frac{1}{2}, c = 1 \).

Tương tự, bạn có thể thử với các giá trị khác cho \( c \) và tính để tìm ra nhiều nghiệm khác nếu cần.