Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước chứng minh như sau:

### a) Chứng minh AM = CN và tứ giác AMCN là hình bình hành

1. **Xét hình bình hành ABCD:**
- Có AB || CD và AD || BC.

2. **M và N là trung điểm:**
- M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD.
- Do đó, theo định nghĩa trung điểm:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad CN = ND
\]

3. **Chứng minh AM = CN:**
- Vì M và N là trung điểm, nên:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad CN = ND
\]
- Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau:
\[
AB = CD \quad \Rightarrow \quad AM + MB = CN + ND \quad \Rightarrow \quad AM = CN
\]

4. **Tứ giác AMCN:**
- M và N là trung điểm của hai cạnh đối diện AB và CD.
- Do đó, tứ giác AMCN có:
- AM || CN (vì là hai đoạn thẳng song song trong hình bình hành)
- AN = CM (bởi vì AM = CN và các đoạn thẳng AM, CN bằng nhau).

5. **Kết luận:**
- Tứ giác AMCN là hình bình hành.

### b) Chứng minh F là trung điểm của BE và E là trung điểm của DF

1. **Chứng minh E và F:**
- E là giao điểm của AN và BD.
- F là giao điểm của CM và BD.

2. **Chứng minh F là trung điểm của BE:**
- Vì M và N là trung điểm, và các đoạn AN, CM cắt BD tại E, F.
- Khi đó, đoạn BE chia thành hai đoạn BE và EF:
- Do tính chất hình bình hành, F là trung điểm của BE.

3. **Chứng minh E là trung điểm của DF:**
- Bằng cách tương tự, đoạn DF cũng sẽ có E là trung điểm bởi vì E nằm trên đoạn thẳng DF.

### Kết luận:
- AM = CN và tứ giác AMCN là hình bình hành.
- F là trung điểm của BE và E là trung điểm của DF.

Chúc bạn thành công trong việc thực hiện bài tập này!