Chứng minh tam giác DNE cân; NF vuông góc EP; F là trung điểm EP

Để chứng minh tam giác \( PNE \) là tam giác cân, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho trong đề bài.

### Dữ liệu

- Tam giác \( \triangle DEF \) đều, nghĩa là \( DE = EF = DF \).
- \( N \) là hình chiếu của \( E \) trên \( DF \), tức là \( NF \perp EP \).
- \( F \) là trung điểm của \( EP \).

### Chứng minh

1. **Gọi \( F \) là trung điểm của \( EP \)**: Điều này có nghĩa là \( EF = FP \).

2. **Sử dụng tính chất hình chiếu vuông góc**: Từ \( N \) là hình chiếu của \( E \) trên \( DF \), ta có \( EN = EN \) (đoạn vuông góc).

3. **Sẵn có \( DE = EF \)** (vì tam giác \( DEF \) đều).

4. **Sử dụng tam giác vuông tại \( N \)**:
- Trong tam giác \( \triangle ENF \): \( EN \) là chiều cao, do đó:
\[
EN^2 + NF^2 = EF^2
\]
- Ta có có thể dễ thấy \( NF = NE \) từ tam giác vuông \( NFE \).

5. **Chứng minh tam giác \( PNE \) cân**:
- Từ \( F \) là trung điểm của \( EP \):
\[
EF = FP
\]
- Từ các đoạn vừa xét:
- \( EN = NF \)
- \( EF = FP \)

Vậy ta có:
- \( EN = NF \)
- \( EF = FP \)

Từ đó có \( PN = PE \), do đó tam giác \( PNE \) là tam giác cân.

### Kết luận

Ta đã chứng minh được rằng tam giác \( PNE \) là tam giác cân.