Cho tam giác nhọn ABC, BD là phân giác góc B (D thuộc cạnh AC). Qua D kẻ đường song song với AB; BC cắt BC tại I; cắt AB tại K. Chứng minh tứ giác BIDK là Hình thoi

Để chứng minh tứ giác BIDK là hình thoi, chúng ta sẽ cần làm theo các bước sau đây:

**Giả thiết:**
- Cho tam giác nhọn ABC, BD là phân giác của góc B (D thuộc cạnh AC).
- Kẻ đường thẳng song song với AB qua điểm D; đường thẳng này cắt BC tại điểm I và cắt AB tại điểm K.

**Cần chứng minh:**
- Tứ giác BIDK là hình thoi.

**Chứng minh:**
1. Trong tam giác ABC, vì BD là phân giác góc B, nên:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \quad (1)
\]

2. Theo giả thiết, đường thẳng DK song song với AB. Do đó, ta có các tính chất của hai cặp góc đồng vị:
- \(\angle KDI = \angle ABD\) (góc đồng vị)
- \(\angle IDK = \angle DAB\) (góc đồng vị)

3. Từ tính chất của góc đồng vị, ta suy ra:
\[
\angle KDI = \angle ABD \quad (2)
\]
\[
\angle IDK = \angle DAB \quad (3)
\]

4. Từ (2) và (3), ta có \(\angle KDI + \angle IDK = \angle ABD + \angle DAB = \angle ABC\).

5. Do DK song song với AB, ta cũng có:
- \(\angle BID = \angle KDI\).
- \(\angle BDI = \angle IDK\).

6. Bây giờ, xét các cạnh:
- Vì DK // AB, nên \(ID = DK\).
- Do BD là phân giác, nên \(\frac{BD}{ID} = \frac{AB}{BC}\).

7. Kết hợp lại, ta có:
- \(BI = IK\) (vì là đoạn thẳng AB).
- Từ đó, suy ra rằng bốn cạnh của tứ giác BIDK đều bằng nhau: \(BI = ID = DK = KB\).

8. Do đó, ta có các góc đối diện bằng nhau và các cạnh bằng nhau, ra kết quả:
\[
BIDK \text{ là hình thoi.}
\]

**Kết luận:**
Tứ giác BIDK là hình thoi, với các cạnh BID, ID, DK, KB đều bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau.

Chúng ta có thể kết thúc chứng minh với việc vẽ hình để minh họa các điểm, đường và các góc, từ đó củng cố thêm phần kết luận của mình.