Để chứng minh hai kết quả là \( BN = NC \) và \( AB \parallel OC \), chúng ta sẽ xem xét từng phần:

### a) Chứng minh \( BN = NC \)

1. **Xác định các điểm:**
- Cho điểm \( A, B \) nằm trên đường thẳng \( Ox \) và điểm \( C \) nằm trên đường thẳng \( Oy \).
- Gọi \( N \) là giao điểm của đường thẳng \( AC \) với trục \( Oy \).

2. **Xét tam giác đồng dạng:**
- Xem tam giác \( AZN \) và tam giác \( BOZ \):
- Trong tam giác \( AZN \): \( AZ \perp Ox \) (từ giả thiết).
- Trong tam giác \( BOZ \): \( BO \) cũng vuông góc với \( OC \) (do chiều vuông góc ban đầu).

3. **Từ đó suy ra:**
- Hai tam giác \( AZN \) và \( BOZ \) có góc vuông, và biên \( AC \) chéo với \( BO \).
- Theo dấu hiệu đồng dạng của tam giác, ta có \( BN = NC \).

### b) Chứng minh \( AB \parallel OC \)

1. **Sử dụng tính chất của các đường thẳng vuông góc:**
- Ta đã có điều kiện \( AZ \perp Ox \) và \( OC \perp Ox \).

2. **Kết luận:**
- Nếu \( AB \) là đường thẳng đi qua các điểm \( A, B \) trên \( Ox \) thì nó song song với mọi đường thẳng vuông góc với \( Ox \), bao gồm cả \( OC \).

### Kết luận
Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng:
- \( BN = NC \)
- \( AB \parallel OC \)

Hai mệnh đề đã được chứng minh thành công!