Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 + 2xy - 2y \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lấy đạo hàm để tìm các điểm cực trị.

Bước 1: Tính các đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \).

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = 4y + 2x - 2
\]

Bước 2: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

Đặt \( \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \):

\[
2x + 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -y
\]

Tiếp theo, đặt \( \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \):

\[
4y + 2x - 2 = 0
\]

Thay \( x = -y \) vào phương trình trên:

\[
4y + 2(-y) - 2 = 0
\]
\[
4y - 2y - 2 = 0
\]
\[
2y - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]

Sau khi tìm được \( y = 1 \), ta thay vào phương trình \( x = -y \):

\[
x = -1
\]

Bước 3: Kiểm tra loại cực trị bằng cách tính định thức Hessian.

\[
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
\]

Tính các đạo hàm bậc 2:
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4
\]
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2
\]

Tính định thức Hessian:

\[
H = \begin{bmatrix}
2 & 2 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
\]

\[
\text{det}(H) = 2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4 > 0
\]

Vì \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0 \) và \( \text{det}(H) > 0 \), nên điểm \( (x, y) = (-1, 1) \) là điểm cực tiểu.

Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu.

\[
f(-1, 1) = (-1)^2 + 2(1)^2 + 2(-1)(1) - 2(1) = 1 + 2 - 2 - 2 = -1
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 + 2xy - 2y \) là \( -1 \) tại điểm \( (x, y) = (-1, 1) \).