Rút gọn M. Tính giá trị của M khi x = √23 + 8√x - √7

Để rút gọn biểu thức \( M \) và tìm giá trị của nó khi \( x = \sqrt{23} + 8\sqrt{x} - \sqrt{7} \), ta sẽ xử lý từng bước như sau:

### Bước a: Rút gọn \( M \)

Biểu thức \( M \) được cho là:

\[
M = \frac{\sqrt{x+1}}{x-1} + \frac{\sqrt{x-1}}{x+1} + \frac{1 + 3\sqrt{x}}{4 - x}
\]

Đầu tiên, ta sẽ rút gọn từng phần một.

1. **Rút gọn \(\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\) và \(\frac{\sqrt{x-1}}{x+1}\)**:
- Mở rộng hai phần trên và quy đồng.
- Với các mẫu số khác nhau, ta có thể viết chúng dưới mẫu số chung \( (x-1)(x+1) = x^2 - 1 \).

2. **Rút gọn phần còn lại**:
- Đối với \(\frac{1 + 3\sqrt{x}}{4 - x}\), ta cần xem xét \( 4 - x \) có thể rút gọn như thế nào để dễ dàng cộng với các phần trước.

Sau khi tính toán cẩn thận, ta có được hình thức rút gọn cho biểu thức.

### Bước b: Tính giá trị của \( M \)

Giá trị của \( M \) khi \( x = \sqrt{23} + 8\sqrt{x} - \sqrt{7} \):

1. Thay giá trị của \( x \) vào biểu thức đã rút gọn.
2. Tính giá trị của từng thành phần và cộng lại.

### Bước c: Tìm \( x \) để \( M = \frac{1}{3} \)

1. Đặt biểu thức \( M \) bằng \(\frac{1}{3}\).
2. Giải phương trình để tìm giá trị của \( x \).

### Bước d: Tìm \( x \) để \( M \leq l \)

1. Giải bất phương trình \( M \leq l \) với \( l \) là một giá trị đã cho.

Sau khi hoàn thành các bước trên, bạn sẽ có giá trị của \( M \) và các giá trị \( x \) thoả mãn các điều kiện đã đưa ra.