Để tính tổng \( S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{100} + 2^{101} \), ta sẽ sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Tổng của một cấp số nhân có dạng:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu,
- \( r \) là công bội,
- \( n \) là số hạng.

Trong trường hợp này:
- Số hạng đầu \( a = 2^2 = 4 \),
- Công bội \( r = 2 \),
- Số hạng cuối là \( 2^{101} \).

Để tìm số lượng số hạng từ \( 2^2 \) đến \( 2^{101} \), ta tính số lượng số hạng như sau:

- Số hạng đầu: 2,
- Số hạng cuối: 101,
- Số hạng: \( 101 - 2 + 1 = 100 \).

Do đó, số lượng số hạng \( n = 100 \).

Áp dụng công thức:

\[
S = 2^2 \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 4 \cdot (2^{100} - 1) = 4 \cdot 2^{100} - 4
\]

Vậy tổng \( S \) sẽ là:

\[
S = 4 \cdot 2^{100} - 4
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
S = 4 \cdot 2^{100} - 4
\]