Cho hình bình hành ABCD tâm O đặt vecto AB = a, AD = b. Tính theo a, b theo AI với I là trung điểm OB

Để tính vecto \( \overrightarrow{AI} \), đầu tiên ta xác định tọa độ các điểm trong hình bình hành ABCD.

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi \( O \) là tâm của hình bình hành.
- Gọi điểm \( A \) có tọa độ \( \overrightarrow{A} = \overrightarrow{O} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \) (theo quy ước hình bình hành có điểm O là tâm).
- Điểm \( B \) sẽ có tọa độ \( \overrightarrow{B} = \overrightarrow{O} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \).
- Điểm \( D \) sẽ có tọa độ \( \overrightarrow{D} = \overrightarrow{O} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \).
- Điểm \( C \) sẽ có tọa độ \( \overrightarrow{C} = \overrightarrow{O} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \).

2. **Tính tọa độ của I:**
- Tọa độ điểm \( I \) (trung điểm của \( OB \)):
\[
\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{O} + \overrightarrow{B}}{2}
\]

Xét \( O \) tại gốc tọa độ, ta có:

\(\overrightarrow{B} = \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b\)

Suy ra:

\[
\overrightarrow{I} = \frac{0 + \left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b\right)}{2} = \frac{1}{4}a - \frac{1}{4}b
\]

3. **Tính vecto \( \overrightarrow{AI} \):**
\[
\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A}
\]

\(\overrightarrow{A} = -\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b\)

Vậy,

\[
\overrightarrow{AI} = \left(\frac{1}{4}a - \frac{1}{4}b\right) - \left(-\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b\right)
\]

Sau khi giải thích và tính toán, ta được:
\[
\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}a - \frac{1}{4}b + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b
= \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right)a + \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right)b
= \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b
\]

Vậy:

\[
\overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b
\]

Đó là vecto \( \overrightarrow{AI} \) tính theo \( a \) và \( b \).