Để xác định và rút gọn biểu thức \( A \), ta cần tìm điều kiện của \( x \) như sau:

1. **Điều kiện xác định**:
- Căn bậc hai \( \sqrt{x} \) chỉ xác định khi \( x \geq 0 \).
- Để mẫu không bằng 0:
- \( 1 - \sqrt{x} \neq 0 \) và \( 1 + \sqrt{x} \neq 0 \) → từ \( 1 - \sqrt{x} \neq 0 \), ta có \( \sqrt{x} \neq 1 \), tức \( x \neq 1 \).
- \( 1 - x \neq 0 \) → tức \( x \neq 1 \).

Kết hợp lại, ta có điều kiện:
\[
x \geq 0 \text{ và } x \neq 1.
\]

2. **Rút gọn biểu thức**:
Ta sẽ rút gọn biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{(1 + \sqrt{x})(1 - \sqrt{x}) + 4x(1 - x)}{(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})(1 - x)}.
\]

Tính toán tử số:
\[
(1 + \sqrt{x})(1 - \sqrt{x}) = 1 - x,
\]
nên
\[
A = \frac{(1 - x) + 4x(1 - x)}{(1 - x)(1 - x)} = \frac{1 - x + 4x - 4x^2}{(1 - x)^2}.
\]
Giản ước, ta có:
\[
A = \frac{1 + 3x - 4x^2}{(1 - x)^2}.
\]

Vậy, điều kiện của \( x \) là \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \) và biểu thức đã được rút gọn thành:
\[
A = \frac{1 + 3x - 4x^2}{(1 - x)^2}.
\]