Chúng ta cần chứng minh rằng với mọi số thực \(x\), \(y\), có

\[
(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)(x + y) = x^5 + y^5.
\]

Bắt đầu bằng cách nhân hai biểu thức bên trái:

\[
(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)(x + y).
\]

Ta sẽ phân tích từng phần trong dấu ngoặc:

1. Nhân \(x^4\) với \(x + y\):

\[
x^4(x + y) = x^5 + x^4y.
\]

2. Nhân \(-x^3y\) với \(x + y\):

\[
-x^3y(x + y) = -x^4y - x^3y^2.
\]

3. Nhân \(x^2y^2\) với \(x + y\):

\[
x^2y^2(x + y) = x^3y^2 + x^2y^3.
\]

4. Nhân \(-xy^3\) với \(x + y\):

\[
-xy^3(x + y) = -x^2y^3 - xy^4.
\]

5. Nhân \(y^4\) với \(x + y\):

\[
y^4(x + y) = y^4x + y^5.
\]

Bây giờ, ta kết hợp tất cả các kết quả lại với nhau:

\[
x^5 + x^4y - x^4y - x^3y^2 + x^3y^2 + x^2y^3 - x^2y^3 - xy^4 + y^4x + y^5.
\]

Chú ý rằng các thành phần \(x^4y\), \(-x^4y\), \(-x^3y^2\), \(x^3y^2\), \(x^2y^3\), \(-x^2y^3\), \(-xy^4\) và \(y^4x\) đã được triệt tiêu lẫn nhau. Kết quả là:

\[
x^5 + y^5.
\]

Vì vậy, ta có:

\[
(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)(x + y) = x^5 + y^5.
\]

Điều này chứng minh rằng biểu thức đúng với mọi \(x\), \(y\).