Để giải bài toán này, ta cần tìm một đa thức bậc hai \( f(x) = ax^2 + bx + c \) thỏa mãn phương trình:

\[
f(x) - f(x-1) = x
\]

**Bước 1: Tính \( f(x-1) \)**

Ta có:

\[
f(x-1) = a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c
\]

\[
= ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)
\]

**Bước 2: Tính \( f(x) - f(x-1) \)**

Bây giờ, ta tính \( f(x) - f(x-1) \):

\[
f(x) - f(x-1) = (ax^2 + bx + c) - (ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c))
\]

\[
= (bx - (-2a + b)x) + (c - (a - b + c)) = (b + 2a - b)x + (b - a) = (2a)x + (b - a)
\]

**Bước 3: So sánh với \( x \)**

Theo đề bài, ta có:

\[
f(x) - f(x-1) = x
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
2a = 1 \quad \text{và} \quad b - a = 0
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
a = \frac{1}{2}, \quad b = a = \frac{1}{2}
\]

**Bước 4: Đặt giá trị của \( c \)**

Giá trị của \( c \) có thể là bất kỳ số thực nào, do nó sẽ bị triệt tiêu trong hiệu \( f(x) - f(x-1) \). Ta có thể lấy \( c = 0 \) để đơn giản.

Vậy, đa thức là:

\[
f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x
\]

**Bước 5: Tính tổng \( S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n \)**

Ta áp dụng công thức cho tổng số hạng liên tiếp bằng cách sử dụng công thức của một đa thức bậc hai:

\[
S = f(n) = f(n) - f(0) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n - 0 = \frac{1}{2}n(n + 1)
\]

Và tổng \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n \) sẽ là:

\[
S = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Kết luận:

1. Đa thức bậc hai là \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x \).
2. Tính tổng \( S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}. \)